题目内容
请你阅读引例及其分析解答,希望能给你以启示,然后完成对探究一和探究二中间题的解答.
引例:设a,b,c为非负实数,求证:
+
+
≥
(a+b+c),
分析:考虑不等式中各式的几何意义,我们可以试构造一个边长为a+b+c的正方形来研究.
解:如图①设正方形的边长为a+b+c,
则AB=
,
BC=
,
CD=
,
显然AB+BC+CD≥AD,
∴
+
+
≥
(a+b+c)
探究一:已知两个正数x、y,满足x+y=12,求
+
的最小值:
解:(图②仅供参考)
探究二:若a、b为正数,求以
,
,
为边的三角形的面积.
引例:设a,b,c为非负实数,求证:
a2+b2 |
b2+c2 |
c2+a2 |
2 |
分析:考虑不等式中各式的几何意义,我们可以试构造一个边长为a+b+c的正方形来研究.
解:如图①设正方形的边长为a+b+c,
则AB=
a2+b2 |
BC=
b2+c 2 |
CD=
a2+c2 |
显然AB+BC+CD≥AD,
∴
a2+b2 |
b2+c2 |
c2+a2 |
2 |
探究一:已知两个正数x、y,满足x+y=12,求
x2+4 |
y2+9 |
解:(图②仅供参考)
探究二:若a、b为正数,求以
a2+b2 |
4a2+b2 |
a2+4b2 |
分析:(1)设矩形的两边长分别为x+y=12,2+3,根据勾股定理得到AB=
,BC=
,则AB+BC≥AC,利用勾股定理计算AC即可;
(2)设矩形ABCD的两边长分别为2a、2b,E、F分别为AB、AD的中点,根据勾股定理得到CF=
,CE=
,EF=
,因此以
,
,
为边的三角形的面积为S△CEF,然后根据S△CEF=S矩形ABCD-S△CDE-S△AEF-S△BCE计算即可.
x2+4 |
y2+9 |
(2)设矩形ABCD的两边长分别为2a、2b,E、F分别为AB、AD的中点,根据勾股定理得到CF=
4a 2+b2 |
a2+4b2 |
a2+b2 |
a2+b2 |
4a2+b2 |
a2+4b2 |
解答:解:(1)如图,设矩形的两边长分别为x+y=12,2+3,
则AB=
,BC=
,
显然AB+BC≥AC,当A、B、C三点共线时,AB+BC最小,
即
+
的最小值为AC,
而AC=
=13,
∴
+
的最小值为13;
(2)如图,设矩形ABCD的两边长分别为2a、2b,E、F分别为AB、AD的中点,
则CF=
,CE=
,EF=
,
∴以
,
,
为边的三角形的面积为S△CEF,
而S△CEF=S矩形ABCD-S△CDE-S△AEF-S△BCE
=4ab-
•2a•b-
ab-
a•2b
=
ab,
∴以
,
,
为边的三角形的面积为
ab.
则AB=
x2+4 |
y2+9 |
显然AB+BC≥AC,当A、B、C三点共线时,AB+BC最小,
即
x2+4 |
y2+9 |
而AC=
122+52 |
∴
x2+4 |
y2+9 |
(2)如图,设矩形ABCD的两边长分别为2a、2b,E、F分别为AB、AD的中点,
则CF=
4a 2+b2 |
a2+4b2 |
a2+b2 |
∴以
a2+b2 |
4a2+b2 |
a2+4b2 |
而S△CEF=S矩形ABCD-S△CDE-S△AEF-S△BCE
=4ab-
1 |
2 |
1 |
2 |
1 |
2 |
=
3 |
2 |
∴以
a2+b2 |
4a2+b2 |
a2+4b2 |
3 |
2 |
点评:本题考查了利用几何方法求几个无理式和的最值问题:先根据题意画出几何图形,再根据勾股定理表示各式的几何意义,然后根据几何性质讨论最值问题.
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