题目内容
【题目】阅读理解:在平面直角坐标系中,对于任意两点与的“非常距离”给出下列定义: 若,则点与的“非常距离”为;
若,则点与的“非常距离”为. 例如:点,点,因为,所以点与的“非常距离”为,也就是图1中线段与线段长度的较大值(点Q为垂直于轴的直线与垂直于轴的直线的交点).
(1)已知点A,B为轴上一个动点.
①若点B(0,3),则点A与点B的“非常距离”为 ;
②若点A与点B的“非常距离”为2,则点B的坐标为 ;
③直接写出点A与点B的“非常距离”的最小值 .
(2)已知点D(0,1)点C是直线上的一个动点,如图2,求点C与点D“非常距离”的最小值及相应的点C的坐标.
【答案】(1)①3,②(0,2)或(0,-2) ③(2)
【解析】试题分析:(1)①根据若|x1-x2|<|y1-y2|,则点P1与点P2的“非常距离”为|y1-y2|解答即可;
②根据点B位于y轴上,可以设点B的坐标为(0,y).由“非常距离”的定义可以确定|0-y|=2,据此可以求得y的值;
③设点B的坐标为(0,y).因为|--0|≥|0-y|,所以点A与点B的“非常距离”最小值为|--0|=;
(2)设点C的坐标为(x0, x0+3).根据材料“若|x1-x2|≥|y1-y2|,则点P1与点P2的“非常距离”为|x1-x2|”知,C、D两点的“非常距离”的最小值为-x0=x0+2,据此可以求得点C的坐标.
试题解析:(1)∵|--0|=,|0-3|=3,
∴<3,
∴点A与点B的“非常距离”为3.
②∵B为y轴上的一个动点,
∴设点B的坐标为(0,y).
∵|--0|=≠2,
∴|0-y|=2,
解得,y=2或y=-2;
∴点B的坐标是(0,2)或(0,-2),
③点A与点B的“非常距离”的最小值为.
(2)如图2,取点C与点D的“非常距离”的最小值时,
需要根据运算定义“若|x1-x2|≥|y1-y2|,则点P1与点P2的“非常距离”为|x1-x2|”解答,
此时|x1-x2|=|y1-y2|,即AC=AD,
∵C是直线y=x+3上的一个动点,点D的坐标是(0,1),
∴设点C的坐标为(x0, x0+3),
∴-x0=x0+2,
此时,x0=-,
∴点C与点D的“非常距离”的最小值为:|x0|=,
此时C(-, ).