题目内容
【题目】已知：如图所示，在△ABC中，∠C=90°，BC=5cm，AC=7cm．两个动点P、Q分别从B、C两点同时出发，其中点P以1厘米/秒的速度沿着线段BC向点C运动，点Q以2厘米/秒的速度沿着线段CA向点A运动．
（1）P、Q两点在运动过程中，经过几秒后，△PCQ的面积等于4厘米2？经过几秒后PQ的长度等于5厘米？
（2）在P、Q两点在运动过程中，四边形ABPQ的面积能否等于11厘米2？试说明理由．
（3）经过几秒时以C、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似？
【答案】(1) 经过1秒后，其面积等于4厘米2，当经过0秒或2秒后PQ=5；(2) 四边形ABPQ的面积不能等于11厘米2,理由见解析；（3）经过
或
秒后两三角形相似，理由见解析
【解析】试题分析：（1）若使其面积为4，即S△PCQ=
PCQC=4，代入数据求解即可；设经过t秒后PQ=5．由PC2+CQ2=PQ2，代入求解即可；
（2）若四边形ABPQ的面积能等于11，即S△PCQ=
﹣11=
，建立方程，解方程看是否有解，若有，则存在；
（3）要使三角形相似，其对应边成比例即可．
试题解析：解：（1）可设经x秒后其面积为4，即×（5﹣x）×2x=4，解得：x=1或x=4．
当x=4时，2x=8＞7，舍去．∴x=1．
设经过t秒后PQ=5．∵PC2+CQ2=PQ2．∵PC=5﹣t，CQ=2t，PQ=5，∴（5﹣t）2+（2t）2=52，解得：t=0或2，∴当经过0秒或2秒后PQ=5．
答：经过1秒后，其面积等于4厘米2，经过0秒或2秒后PQ=5．
（2）若四边形ABPQ的面积能等于11厘米2，即S△PCQ=﹣11=，即×（5﹣x）×2x=，化简得：2x2﹣10x+13=0，△=b2﹣4ac=10×10﹣4×2×13＜0，所以此方程无解．
故四边形ABPQ的面积不能等于11厘米2．
（3）若两个三角形相似，①当PQ∥AB时，有
，解得：x=．
②当PQ不平行AB时，有
，解得：x=．
即经过或秒后两三角形相似．
