Question

如图所示，抛物线y=ax²+c（a＞0）经过梯形ABCD的四个顶点，梯形的底AD在x轴上，其中A（-2，0），B（-1，-3）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点M为y轴上任意一点，当点M到A，B两点的距离之和为最小时，求此时点M的坐标；
（3）在第（2）问的结论下，抛物线上的点P使S_△PAD=4S_△ABM成立，求点P的坐标．

Answer 1

分析：（1）将A、B点的坐标代入抛物线的解析式中即可求出待定系数的值；
（2）由于A、D关于抛物线对称轴即y轴对称，那么连接BD，BD与y轴的交点即为所求的M点，可先求出直线BD的解析式，即可得到M点的坐标；
（3）设直线BC与y轴的交点为N，那么△ABM的面积即为梯形ABNO、△BMN、△AOM的面积差，由此可求出△ABM和△PAD的面积；在△PAD中，AD的长为定值，可根据其面积求出P点纵坐标的绝对值，然后代入抛物线的解析式中即可求出P点的坐标．

解答：解：（1）由题意可得：

4a+c=0 a+c=-3

，
解得

a=1 c=-4

；
∴抛物线的解析式为：y=x²-4；

（2）由于A、D关于抛物线的对称轴（即y轴）对称，连接BD．
则BD与y轴的交点即为M点；
设直线BD的解析式为：y=kx+b（k≠0），则有：

-k+b=-3 2k+b=0

，
解得

k=1 b=-2

；
∴直线BD的解析式为y=x-2，点M（0，-2）；

（3）设BC与y轴的交点为N，则有N（0，-3）；
∴MN=1，BN=1，ON=3；
S_△ABM=S_梯形AONB-S_△BMN-S_△AOM=

1

2

（1+2）×3-

1

2

×2×2-

1

2

×1×1=2；
∴S_△PAD=4S_△ABM=8；
由于S_△PAD=

1

2

AD•|y_P|=8，
即|y_P|=4；
当P点纵坐标为4时，x²-4=4，
解得x=±2

2

，
∴P₁（-2

2

，4），P₂（2

2

，4）；
当P点纵坐标为-4时，x²-4=-4，
解得x=0，
∴P₃（0，-4）；
故存在符合条件的P点，且P点坐标为：P₁（-2

2

，4），P₂（2

2

，4），P₃（0，-4）．

点评：此题主要考查了二次函数解析式的确定、函数图象交点及图形面积的求法，轴对称的性质等知识的综合应用能力；当所求图形不规则时，一般要将不规则图形转换为几个规则图形面积的和差来求．