题目内容

如图所示．求证：任意四边形四条边的平方和等于对角线的平方和加对角线中点连线平方的4倍．

证明：设四边形ABCD对角线AC，BD中点分别是Q，P．
在△BDQ中，BQ²+DQ²=2PQ²+2•2 $\text{[math]}$ =2PQ²+ $\text{[math]}$
即2BQ²+2DQ²=4PQ²+BD²．①

在△ABC中，BQ是AC边上的中线，
所以BQ²= $\text{[math]}$ （2AB²+2BC²-AC²）．②
在△ACD中，QD是AC边上的中线，
所以DQ²= $\text{[math]}$ （2AD²+2DC²-AC²）．③
将②，③代入①得 $\text{[math]}$ （2AB²+2BC²-AC²）+ $\text{[math]}$ （2AD²+2DC²-AC²）
=4PQ²+BD²，
即AB²+BC²+CD²+DA²=AC²+BD²+4PQ²．
分析：对角线中点连线为PQ，可看作△BDQ的中线，分别计算BQ²，DQ²，代入2BQ²+2DQ²=4PQ²+BD²．即可计算出即AB²+BC²+CD²+DA²=AC²+BD²+4PQ²．
点评：本题考查了直角三角形中勾股定理的运用，本题中分别求BQ²，DQ²，化简出2BQ²+2DQ²=4PQ²+BD²的等量关系式是解题的关键．

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