题目内容
（1997•辽宁）如图，PA为⊙O的切线，A为切点，连接PO并延长，与圆相交于点B、C，PA=10，PB=5，∠BAC的平分线与BC和⊙O分别相交于点D和E．求：（1）⊙O的半径；
（2）sin∠BAP的值；
（3）AD•AE的值．
分析：（1）连接AO，求出∠BAP=∠C，证△PAB∽△PCA，得出
=
，代入求出PC即可；
（2）根据△PAB∽△PCA得出
=
=
，求出
=
，代入sinC=sin∠BAP求出即可；
（3）连接CE，证△ACE∽△ADB，推出AD•AE=AB•AC，根据
=
求出AB=3
，AC=2AB=6
，代入即可求出答案．
| PA |
| PB |
| PC |
| PA |
（2）根据△PAB∽△PCA得出
| AB |
| AC |
| PB |
| PA |
| 1 |
| 2 |
| AB |
| BC |
| 1 | ||
|
（3）连接CE，证△ACE∽△ADB，推出AD•AE=AB•AC，根据
| AB |
| BC |
| 1 | ||
|
| 5 |
| 5 |
解答：解：（1）连接AO，
∵PA为⊙O的切线，A为切点，
∴∠OAP=∠OAB+∠BAP=90°，
∵BC是⊙O直径，
∴∠CAB=∠CAO+∠OAB=90°，
∴∠CAO=∠PAB，
∵OC=OA，
∴∠C=∠OAC，
∴∠BAP=∠C，
∵∠P=∠P，
∴△PAB∽△PCA，
∴
=
，
∴
=
，
∴PC=20，BC=15，
则半径为
；
（2）∵△PAB∽△PCA，
∴
=
=
，
∵∠CAB=90°，
∴
=
，
∴sinC=sin∠BAP=
；
（3）连接CE，
∵AE是∠BAC的角平分线，
∴∠BAD=∠CAE，
∵∠E=∠ABD，
∴△ACE∽△ADB，
∴
=
，
∴AD•AE=AB•AC，
∵
=
，BC=15，
∴AB=3
，AC=2AB=6
，
∴AD•AE=3
×6
=90．
∵PA为⊙O的切线，A为切点，
∴∠OAP=∠OAB+∠BAP=90°，
∵BC是⊙O直径，
∴∠CAB=∠CAO+∠OAB=90°，
∴∠CAO=∠PAB，
∵OC=OA，
∴∠C=∠OAC，
∴∠BAP=∠C，
∵∠P=∠P，
∴△PAB∽△PCA，
∴
| PA |
| PB |
| PC |
| PA |
∴
| 10 |
| 5 |
| PC |
| 10 |
∴PC=20，BC=15，
则半径为
| 15 |
| 2 |
（2）∵△PAB∽△PCA，
∴
| AB |
| AC |
| PB |
| PA |
| 1 |
| 2 |
∵∠CAB=90°，
∴
| AB |
| BC |
| 1 | ||
|
∴sinC=sin∠BAP=
| ||
| 5 |
（3）连接CE，
∵AE是∠BAC的角平分线，
∴∠BAD=∠CAE，
∵∠E=∠ABD，
∴△ACE∽△ADB，
∴
| AE |
| AB |
| AC |
| AD |
∴AD•AE=AB•AC，
∵
| AB |
| BC |
| 1 | ||
|
∴AB=3
| 5 |
| 5 |
∴AD•AE=3
| 5 |
| 5 |
点评：本题考查了切线的性质，相似三角形的性质和判定，等腰三角形的性质，圆周角定理等知识点的应用．
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