Question

（2013•宝应县一模）抛物线y=-x²+bx+c与x轴交与A（1，0），B（-3，0）两点，
（1）求该抛物线的解析式；
（2）设（1）中的抛物线与y轴交于C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得△QAC的周长最小？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）将点A、点B的坐标代入可求出b、c的值，继而可得出该抛物线的解析式；
（2）连接BC，则BC与对称轴的交点，即是点Q的位置，求出直线BC的解析式后，可得出点Q的坐标．

解答：解（1）把A（1，0）、B（-3，0）代入抛物线解析式可得：

-1+b+c=0 -9-3b+c=0

，
解得：

b=-2 c=3

故抛物线的解析式为y=-x²-2x+3．

（2）存在．

由题意得，点B与点A关于抛物线的对称轴对称，连接BC，则BC与抛物线对称轴的交点是点Q的位置，
设直线BC解析式为y=kx+b，把B（-3，0）、C（0，3）代入得：

-3k+b=0 b=3

，
解得：

k=1 b=3

，
则直线BC的解析式为y=x+3，
令Q_X=-1 得Q_y=2，
故点Q的坐标为：（-1，2）．

点评：本题考查了二次函数的综合运用，涉及了顶点坐标的求解、三角形的面积及轴对称求最短路径的知识，解答本题的关键是熟练各个知识点，注意培养自己解综合题的能力．