题目内容
【题目】菱形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,AC=4 ,BD=4,动点P在线段BD上从点B向点D运动,PF⊥AB于点F,四边形PFBG关于BD对称,四边形QEDH与四边形PFBG关于AC对称.设菱形ABCD被这两个四边形盖住部分的面积为S1 , 未被盖住部分的面积为S2 , BP=x.
(1)用含x的代数式分别表示S1 , S2;
(2)若S1=S2 , 求x的值.
【答案】
(1)解:①当点P在BO上,0<x≤2时,如图1所示.
∵四边形ABCD是菱形,AC=4 ,BD=4,
∴AC⊥BD,BO= BD=2,AO= AC=2 ,
且S菱形ABCD= BDAC=8 .
∴tan∠ABO= = .
∴∠ABO=60°.
在Rt△BFP中,
∵∠BFP=90°,∠FBP=60°,BP=x,
∴sin∠FBP= =sin60°= .
∴FP= x.
∴BF= .
∵四边形PFBG关于BD对称,
四边形QEDH与四边形PEBG关于AC对称,
∴S△BFP=S△BGP=S△DEQ=S△DHQ.
∴S1=4S△BFP
=4× × x
= .
∴S2=8 ﹣ .
②当点P在OD上,2<x≤4时,如图2所示.
∵AB=4,BF= ,
∴AF=AB﹣BF=4﹣ .
在Rt△AFM中,
∵∠AFM=90°,∠FAM=30°,AF=4﹣ .
∴tan∠FAM= =tan30°= .
∴FM= (4﹣ ).
∴S△AFM= AFFM
= (4﹣ ) (4﹣ )
= (4﹣ )2.
∵四边形PFBG关于BD对称,
四边形QEDH与四边形FPBG关于AC对称,
∴S△AFM=S△AEM=S△CHN=S△CGN.
∴S2=4S△AFM
=4× (4﹣ )2
= (x﹣8)2.
∴S1=8 ﹣S2=8 ﹣ (x﹣8)2.
综上所述:
当0<x≤2时,S1= ,S2=8 ﹣ ;
当2<x≤4时,S1=8 ﹣ (x﹣8)2,S2= (x﹣8)2
(2)解:①当点P在BO上时,0<x≤2.
∵S1=S2,S1+S2=8 ,
∴S1=4 .
∴S1= =4 .
解得:x1=2 ,x2=﹣2 .
∵2 >2,﹣2 <0,
∴当点P在BO上时,S1=S2的情况不存在.
②当点P在OD上时,2<x≤4.
∵S1=S2,S1+S2=8 ,
∴S2=4 .
∴S2= (x﹣8)2=4 .
解得:x1=8+2 ,x2=8﹣2 .
∵8+2 >4,2<8﹣2 <4,
∴x=8﹣2 .
综上所述:若S1=S2,则x的值为8﹣2 .
【解析】(1)根据对称性确定E、F、G、H都在菱形的边上,由于点P在BO上与点P在OD上求S1和S2的方法不同,因此需分情况讨论.(2)由S1=S2和S1+S2=8 可以求出S1=S2=4 .然后在两种情况下分别建立关于x的方程,解方程,结合不同情况下x的范围确定x的值.
【考点精析】根据题目的已知条件,利用菱形的性质和轴对称的性质的相关知识可以得到问题的答案,需要掌握菱形的四条边都相等;菱形的对角线互相垂直,并且每一条对角线平分一组对角;菱形被两条对角线分成四个全等的直角三角形;菱形的面积等于两条对角线长的积的一半;关于某条直线对称的两个图形是全等形;如果两个图形关于某直线对称,那么对称轴是对应点连线的垂直平分线;两个图形关于某直线对称,如果它们的对应线段或延长线相交,那么交点在对称轴上.
【题目】已知2014年3月份在某医院出生的20名新生婴儿的体重如下(单位:kg)
4.7 2.9 3.2 3.5 3.8 3.4 2.8 3.3 4.0 4.5
3.6 4.8 4.3 3.6 3.4 3.5 3.6 3.5 3.7 3.7
(1)求这组数据的极差;
(2)若以0.4kg为组距,对这组数据进行分组,制作了如下的“某医院2014年3月份20名新生婴儿体重的频数分布表”(部分空格未填),请在频数分布表的空格中填写相关的量
某医院2014年3月份20名新生儿体重的频数分布表
组别(kg) | 划记 | 频数 |
略 | ||
略 | ||
3.55﹣3.95 | 正一 | 6 |
略 | ||
略 | ||
略 | ||
合计 | 20 |
(3)经检测,这20名婴儿的血型的扇形统计图如图所示(不完整),求:
①这20名婴儿中是A型血的人数;
②表示O型血的扇形的圆心角度数.