题目内容

【题目】菱形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,AC=4 ,BD=4,动点P在线段BD上从点B向点D运动,PF⊥AB于点F,四边形PFBG关于BD对称,四边形QEDH与四边形PFBG关于AC对称.设菱形ABCD被这两个四边形盖住部分的面积为S1 , 未被盖住部分的面积为S2 , BP=x.
(1)用含x的代数式分别表示S1 , S2
(2)若S1=S2 , 求x的值.

【答案】
(1)解:①当点P在BO上,0<x≤2时,如图1所示.

∵四边形ABCD是菱形,AC=4 ,BD=4,

∴AC⊥BD,BO= BD=2,AO= AC=2

且S菱形ABCD= BDAC=8

∴tan∠ABO= =

∴∠ABO=60°.

在Rt△BFP中,

∵∠BFP=90°,∠FBP=60°,BP=x,

∴sin∠FBP= =sin60°=

∴FP= x.

∴BF=

∵四边形PFBG关于BD对称,

四边形QEDH与四边形PEBG关于AC对称,

∴SBFP=SBGP=SDEQ=SDHQ

∴S1=4SBFP

=4× × x

=

∴S2=8

②当点P在OD上,2<x≤4时,如图2所示.

∵AB=4,BF=

∴AF=AB﹣BF=4﹣

在Rt△AFM中,

∵∠AFM=90°,∠FAM=30°,AF=4﹣

∴tan∠FAM= =tan30°=

∴FM= (4﹣ ).

∴SAFM= AFFM

= (4﹣ (4﹣

= (4﹣ 2

∵四边形PFBG关于BD对称,

四边形QEDH与四边形FPBG关于AC对称,

∴SAFM=SAEM=SCHN=SCGN

∴S2=4SAFM

=4× (4﹣ 2

= (x﹣8)2

∴S1=8 ﹣S2=8 (x﹣8)2

综上所述:

当0<x≤2时,S1= ,S2=8

当2<x≤4时,S1=8 (x﹣8)2,S2= (x﹣8)2


(2)解:①当点P在BO上时,0<x≤2.

∵S1=S2,S1+S2=8

∴S1=4

∴S1= =4

解得:x1=2 ,x2=﹣2

∵2 >2,﹣2 <0,

∴当点P在BO上时,S1=S2的情况不存在.

②当点P在OD上时,2<x≤4.

∵S1=S2,S1+S2=8

∴S2=4

∴S2= (x﹣8)2=4

解得:x1=8+2 ,x2=8﹣2

∵8+2 >4,2<8﹣2 <4,

∴x=8﹣2

综上所述:若S1=S2,则x的值为8﹣2


【解析】(1)根据对称性确定E、F、G、H都在菱形的边上,由于点P在BO上与点P在OD上求S1和S2的方法不同,因此需分情况讨论.(2)由S1=S2和S1+S2=8 可以求出S1=S2=4 .然后在两种情况下分别建立关于x的方程,解方程,结合不同情况下x的范围确定x的值.
【考点精析】根据题目的已知条件,利用菱形的性质和轴对称的性质的相关知识可以得到问题的答案,需要掌握菱形的四条边都相等;菱形的对角线互相垂直,并且每一条对角线平分一组对角;菱形被两条对角线分成四个全等的直角三角形;菱形的面积等于两条对角线长的积的一半;关于某条直线对称的两个图形是全等形;如果两个图形关于某直线对称,那么对称轴是对应点连线的垂直平分线;两个图形关于某直线对称,如果它们的对应线段或延长线相交,那么交点在对称轴上.

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