题目内容
25、如图，一个圆形街心花园，有三个出口A、B、C，每两个出口之间有一条长60米的道路，组成正三角形ABC，在中心O处有一个亭子．为使亭子与原有的道路相通，需修三条小路OD、OE、OF，使另一出口D、E、F分别落在三角形的三边上，且这三条小道把三角形分成三个全等的多边形，以备种植不同的花草，
（1）请你按以上要求设计两种不同的方案．将你的设计方案分别画在图（a）、图（b）上，并附简单的说明；
（2）要使三条小道把三角形分成三个全等的等腰梯形，应怎样设计？把方案画在图（c）上，并简单说明画法（不需证明）；
（3）请你探究出一种一般方法，使得D不论在什么位置，都能准确找到另外两个出口E、F的位置，请写明这个画法．用图（d）表示出来．
（4）你在上图中探索出的一般方法是否适用于正方形？请结合图（e）予以说明；这种方法可以推广到正n边形吗？
（1）请你按以上要求设计两种不同的方案．将你的设计方案分别画在图（a）、图（b）上，并附简单的说明；
（2）要使三条小道把三角形分成三个全等的等腰梯形，应怎样设计？把方案画在图（c）上，并简单说明画法（不需证明）；
（3）请你探究出一种一般方法，使得D不论在什么位置，都能准确找到另外两个出口E、F的位置，请写明这个画法．用图（d）表示出来．
（4）你在上图中探索出的一般方法是否适用于正方形？请结合图（e）予以说明；这种方法可以推广到正n边形吗？
分析：（1）根据正三角形的性质可以得出作三角形的内心或外心都可以，即可得出作法；
（2）过点O分别作OE∥AB交BC于E；OD∥AC交于D；OF∥BC交AC于F，则点D，E，F为所求；
（3）在AB上任取一点D（不与点A点B重合），再在BE上取E，AC上取F，使BE=CF=AD；
（4）只要使AE=BF=CG=DH即可．
（2）过点O分别作OE∥AB交BC于E；OD∥AC交于D；OF∥BC交AC于F，则点D，E，F为所求；
（3）在AB上任取一点D（不与点A点B重合），再在BE上取E，AC上取F，使BE=CF=AD；
（4）只要使AE=BF=CG=DH即可．
解答：
解：（1）过点O作三边的高，垂足分别为D，E，F；
（2）过点O分别作OE∥AB交BC于E；OD∥AC交于D；OF∥BC交AC于F，则点D，E，F为所求；
（3）在AB上任取一点D（不与点A点B重合），再在BE上取E，AC上取F，使BE=CF=AD；
（4）仍适用于正方形．只要使AE=BF=CG=DH即可；这种方法可以推广到正n边形也成立．
解：（1）过点O作三边的高，垂足分别为D，E，F；（2）过点O分别作OE∥AB交BC于E；OD∥AC交于D；OF∥BC交AC于F，则点D，E，F为所求；
（3）在AB上任取一点D（不与点A点B重合），再在BE上取E，AC上取F，使BE=CF=AD；
（4）仍适用于正方形．只要使AE=BF=CG=DH即可；这种方法可以推广到正n边形也成立．
点评：此题主要考查了正三角形内外心的作法以及等腰梯形作法和利用图形设计解决实际问题等知识，注意题目的扩展结合已知可以延伸得出．
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