Question

（2005•东城区一模）如图，⊙O的直径DF与弦AB交于点E，C为⊙O外一点，CB⊥AB于点B，G是直线CD上一点，∠ADG=∠ABD，AD∥CE．
（1）求证：AD•CE=DE•DF．
（2）若∠DAE=30°，BC=2，AD=

5

2

，AE：BE=2：3，求

BD

的长．

Answer 1

分析：（1）连接AF，OB，∠F=∠ABD=∠GDA，推出∠GDA+∠1=90°，求出DC是圆的切线，推出∠CDE=90°，证△ADF∽△DEC，得出比例式，求出即可；
（2）求出∠CEB=∠DAE=30°，求出BE、AE，设DE=x，DF=y，求出xy=10，根据相交弦定理求出x、y，求出圆的半径，求出∠DOB，根据弧长公式求出即可．

解答：（1）证明：连接AF，OB，
∵DF是⊙O的直径，
∴∠DAF=90°，
∵∠ADG=∠ABD，
而∠F=∠ABD．
∴∠ADG=∠F，
∵∠F+∠1=90°，
∴∠ADG+∠1=90°，
∴CG是⊙O的切线．
∴∠CDE=90°，
∵AD∥CE，
∴∠1=∠2，
∴△ADF∽△DEC，
∴

AD

DF

=

DE

CE

，
即AD•CE=DE•DF．

（2）解：∵AD∥CE，∠DAE=30°，
∴∠CEB=∠DAE=30°，
在Rt△EBC中，∵BC=2，
∴CE=4，BE=2

3

，
∵AE：BE=2：3，
∴AE=

4 3

3

，
设DE=x，DF=y
∵AD•CE=DE•DF，AD=

5

2

，
∴xy=10，
∵由AE•BE=DE•EF，得

4 3

3

×2

3

=x（y-x），
解得x²=2，
x=

2

，
∴y=5

2

，
连接OB，于是∠DOB=60°，
∴

BD

的长为

60π× 5 2 2

180

=

5 2 π

6

，
答：

BD

的长为

5 2 π

6

．

点评：本题考查了勾股定理，相交弦定理，圆周角定理，弧长公式，相似三角形的性质和判定，切线的性质和判定等知识点的应用，本题综合性比较强，有一定的难度，主要考查学生运用定理进行推理和计算的能力．