Question

如图，PT切⊙O于点T，经过圆心O的割线PAB交⊙O于点A、B，已知PT=4，∠P=30°，则⊙O的直径AB等于

 

．

Answer 1

分析：连接OT，由切线的性质得到三角形ATO为直角三角形，又∠P=30°，得到OT等于OP的一半，即OA等于OP的一半，进而得到PA，AO，OB都相等，设AP为x，得到PB为3x，由PT的值，利用切割线定理即可列出关于x的方程，求出方程的解即可得到直径AB的长．

解答：解：连接OT，由PT是⊙O的切线，得到∠PTO=90°，又∠P=30°，
∴OT=

1

2

PO，即OA=

1

2

OP，
∴PA=OA=OB，设PA=x，则PB=3x，
根据切割线定理得：PT²=PA•PB，即3x²=16，解得x=

4 3

3

，
则AB=2OA=

8 3

3

．
故答案为：

8 3

3

．

点评：此题考查学生灵活运用切线性质及切割线定理化简求值，掌握直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半，是一道中档题．学生做题时注意已知圆切线时，连接圆心与切点是经常连接的辅助线．