题目内容
【题目】“双十一”淘宝网销售一款工艺品,每件的成本是50元.销售期间发现:销售单价是100元时,每天的销售量是50件,而销售单价每降低1元,每天就可多售出5件.但要求销售单价不得低于成本.设当销售单价为x元时,每天的销售利润为y元.
(1)求出y与x之间的函数表达式;
(2)求出销售单价为多少元时,每天的销售利润最大?最大利润是多少?
(3)如果每天的销售利润不低于4000元,那么每天的总成本至少需要 元.
(每天的总成本=每件的成本×每天的销售量)
【答案】(1)y=-5x2+800x-27500(50≤x≤100);(2)当x=80时,y最大值=4500;(3)5000.
【解析】
试题分析:(1)根据“利润=(售价-成本)×销售量”即可列出函数关系;
(2)把(1)中的二次函数解析式转化为顶点式,利用二次函数图象的性质求出顶点坐标即可;
(3)把y=4000代入函数解析式,求得相应的x值,求出此时的成本即可确定每天的总成本至少需要多少元.
试题解析:(1)y=(x-50)[50+5(100-x)] =(x-50)(-5x+550)=-5x2+800x-27500,
∴y=-5x2+800x-27500(50≤x≤100);
(2)y=-5x2+800x-27500=-5(x-80)2+4500,
∵a=-5<0,
∴抛物线开口向下.
∵50≤x≤100,对称轴是直线x=80,
∴当x=80时,y最大值=4500;
(3)当y=4000时,-5(x-80)2+4500=4000,
解得x1=70,x2=90.
∴当70≤x≤90时,每天的销售利润不低于4000元,
当x=70时,总成本为:50×(-5×70+550)=10000,
当x=90时,总成本为:50×(-5×90+550)=5000,
所以如果每天的销售利润不低于4000元,那么每天的总成本至少需要5000元.