题目内容
【题目】已知的两边、的长分别是关于x的一元二次方程的两个实数根,第三边的长为5.
(1)当为何值时, 是直角三角形;
(2)当为何值时, 是等腰三角形,并求出的周长.
【答案】(1)2;(2)14或6
【解析】试题分析:
(1)△ABC是以BC为斜边的直角三角形,即AB,AC的平方和是25,则一元二次方程x2-(2k+3)x+k2+3k+2=0的两个实数根的平方和是25,根据韦达定理和勾股定理解出k的值,再把k的值代入原方程,检查k是哪个值时,△ABC是以BC为斜边的直角三角形则可;(2)根据等腰三角形的性质,分三种情况讨论:①AB=AC,②AB=BC,③BC=AC;后两种情况相同,则可有另种情况,再由根与系数的关系得出k的值,再求的周长。
试题解析:
(1)设边AB=a,AC=b
∵a、b是方程x2-(2k+3)x+k2+3k+2=0的两根
∴a+b=2k+3,a-b=k2+3k+2
又∵△ABC是以BC为斜边的直角三角形,且BC=5
∴a2+b2=52,
即(a+b)2-2ab=52,
∴(2k+3)2-2(k2+3k+2)=25
∴k2+3k-10=0
∴k1=-5或k2=2
当k=-5时,方程为:x2+7x+12=0
解得:x1=-3,x2=-4(舍去)
当k=2时,方程为:x2-7x+12=0
解得:x1=3,x2=4
∴当k=2时,△ABC是以BC为斜边的直角三角形.
(2)∵△ABC是等腰三角形;
∴当AB=AC时,△=b2-4ac=0,
∴(2k+3)2-4(k2+3k+2)=0
解得k不存在;
当AB=BC时,即AB=5,
∴5+AC=2k+3,5AC=k2+3k+2,
解得k=3或4,
∴AC=4或6,
∴△ABC的周长为14或16
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