Question

如图有一个三角形点阵，从上向下有无数多行，其中第一行有1个点，第二行有2个点…第n行有n个点
（1）容易发现，10是三角点阵中前4行的点数之和．你能发现300是前多少行的点数之和吗？
（2）如果把图中的三角点阵中各行的点数依次换为2，4，6，…，2n，…，你能探究出前n行的点数的和满足什么规律吗？
（3）在（2）中，三角点阵中前n行的点数的和能是600吗？如果能，求出n；如果不能，试用一元二次方程说明道理．

Answer 1

考点：一元二次方程的应用,规律型：图形的变化类

专题：

分析：（1）由于第一行有1个点，第二行有2个点…第n行有n个点…，则前五行共有（1+2+3+4+5）个点，前10行共有（1+2+3+4+5+6+7+8+9+10）个点，前n行共有（1+2+3+4+5+…+n）个点，然后求它们的和，前n行共有

n(n+1)

2

个点，则

n(n+1)

2

=300，然后解方程得到n的值；
（2）根据2+4+6+…+2n=2（1+2+3+…+n）=2×

n(n+1)

2

进而得出即可；
（3）由（2）得n（n+1）=600×2，求n的值即可．

解答：解：（1）由题意可得：

n(n+1)

2

=300，
整理得n²+n-600=0，
（n+25）（n-24）=0，
∴n₁=-25，n₂=24，
∵n为正整数，
∴n=24．
答：300是前24行的点数之和；

（2）由题意可得：
2+4+6+…+2n=2（1+2+3+…+n）=2×

n(n+1)

2

=n（n+1）；

（3）依题意，得n（n+1）=600×2，
即n²+n-1200=0，
△=

1+4800

=

4801

，无法开平方得出整数，
∴三角点阵中前n行的点数的和不能是600．

点评：此题主要考查了一元二次方程的应用以及规律型：图形的变化，本题是一道找规律的题目，这类题型在中考中经常出现．对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的．