题目内容
如图，在等边△ABC中，M、N分别是边AB，AC的中点，D为MN上任意一点，BD，CD的延长线分别交于AB，AC于点E，F．若| 1 |
| CE |
| 1 |
| BF |
A、
| ||
B、
| ||
C、
| ||
| D、1 |
分析：过点A作直线PQ∥BC，延长BE交PQ于点P；延长CF，交PQ于点Q．证明△BCE∽△PAE，△CBF∽△QAF，
构造
+
与BC的关系求解．
构造
| 1 |
| CE |
| 1 |
| BF |
解答：
解：过点A作直线PQ∥BC，延长BD交PQ于点P；延长CD，交PQ于点Q．
∵PQ∥BC，
∴△PQD∽△BCD，
∵点D在△ABC的中位线上，
∴△PQD与△BCD的高相等，
∴△PQD≌△BCD，
∴PQ=BC，
∵AE=AC-CE，AF=AB-BF，
在△BCE与△PAE中，∠PAE=∠ACB，∠APE=∠CBE，
∴△BCE∽△PAE，
=
…①
同理：△CBF∽△QAF，
=
…②
①+②，得：
+
=
．
∴
+
=3，
又∵
+
=6，AC=AB，
∴△ABC的边长=
．
故选C．
解：过点A作直线PQ∥BC，延长BD交PQ于点P；延长CD，交PQ于点Q．∵PQ∥BC，
∴△PQD∽△BCD，
∵点D在△ABC的中位线上，
∴△PQD与△BCD的高相等，
∴△PQD≌△BCD，
∴PQ=BC，
∵AE=AC-CE，AF=AB-BF，
在△BCE与△PAE中，∠PAE=∠ACB，∠APE=∠CBE，
∴△BCE∽△PAE，
| AE |
| CE |
| AP |
| BC |
同理：△CBF∽△QAF，
| AF |
| BF |
| AQ |
| BC |
①+②，得：
| AC-CE |
| CE |
| AB-BF |
| BF |
| AP+AQ |
| BC |
∴
| AC |
| CE |
| AB |
| BF |
又∵
| 1 |
| CE |
| 1 |
| BF |
∴△ABC的边长=
| 1 |
| 2 |
故选C．
点评：本题综合考查了三角形中位线定理及三角形的相似的知识，解题的关键是作平行线构造相似，从而得到已知与所求线段的关系．
练习册系列答案
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| ||||
B、
| ||||
C、
| ||||
D、
|
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