Question

数学学习总是如数学知识自身的生长历史一样，往往起源于猜测中的发现，我们所发现的不一定对，但是当利用我们已有的知识作为推理的前提论证之后，当所发现的在逻辑上没有矛盾之后，就可以作为新的推理的前提，数学中称之为定理．
（1）尝试证明：
等腰三角形的探索中借助折纸发现：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．但是当时并未说明这个结论的合理．现在我们学些了矩形的判定和性质之后，就可以解决这个问题了．如图1若在Rt△ABC中CD是斜边AB的中线，则，你能用矩形的性质说明这个结论吗？请说明．
（2）迁移运用：利用上述结论解决下列问题：
①如图2所示，四边形ABCD中，∠BAD=90°，∠DCB=90°，EF分别是BD、AC的中点，请你说明EF与AC的位置关系．
②如图3所示，?ABCD中，以AC为斜边作Rt△ACE，∠AEC=90°，且∠BED=90°，试说明平行四边形ABCD是矩形．

Answer 1

证明：（1）如图，延长CD至点E，使CD=DE，连接AE、BE，
∵CD=DE，点D为AB中点，
∴四边形AEBC为平行四边形，
∵∠ACB=90°，
∴平行四边形AEBC是矩形，
∴CE=AB，
∵CD=CE，
∴CD=AB；

（2）EF⊥AC．理由如下：
连接AE、CE，
∵∠BAD=90°，E为BD中点，
∴AE=DB，
∵∠DCB=90°，
∴CE=BD，
∴AE=CE，
∵F是AC中点，
∴EF⊥AC；

（3）连接EO，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴O点为AC、BD中点，
∵∠AEC=90°，O为AC中点，
∴，
∵∠BED=90°，O为BD中点，
∴，
∴AC=BD，
∵平行四边形ABCD中，AC=BD，
∴四边形ABCD是矩形．
分析：（1）延长CD至点E，使CD=DE，连接AE、BE，然后证明四边形AEBC是矩形，再根据矩形的性质可得CD=AB；
（2）EF⊥AC，连接AE、CE，然后根据（1）中的结论得到AE=CE，再根据等腰三角形的性质可得EF⊥AC；
（3）连接EO，根据（1）中的结论可得OE=DB，OE=AC，进而得到AC=BD，根据对角线相等的平行四边形是矩形可得结论．
点评：此题主要考查了矩形的判定与性质，关键是掌握矩形的对角线相等且互相平分．