题目内容

数学学习总是如数学知识自身的生长历史一样,往往起源于猜测中的发现,我们所发现的不一定对,但是当利用我们已有的知识作为推理的前提论证之后,当所发现的在逻辑上没有矛盾之后,就可以作为新的推理的前提,数学中称之为定理.
(1)尝试证明:
等腰三角形的探索中借助折纸发现:直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.但是当时并未说明这个结论的合理.现在我们学些了矩形的判定和性质之后,就可以解决这个问题了.如图1若在Rt△ABC中CD是斜边AB的中线,则数学公式,你能用矩形的性质说明这个结论吗?请说明.
(2)迁移运用:利用上述结论解决下列问题:
①如图2所示,四边形ABCD中,∠BAD=90°,∠DCB=90°,EF分别是BD、AC的中点,请你说明EF与AC的位置关系.
②如图3所示,?ABCD中,以AC为斜边作Rt△ACE,∠AEC=90°,且∠BED=90°,试说明平行四边形ABCD是矩形.

证明:(1)如图,延长CD至点E,使CD=DE,连接AE、BE,
∵CD=DE,点D为AB中点,
∴四边形AEBC为平行四边形,
∵∠ACB=90°,
∴平行四边形AEBC是矩形,
∴CE=AB,
∵CD=CE,
∴CD=AB;

(2)EF⊥AC.理由如下:
连接AE、CE,
∵∠BAD=90°,E为BD中点,
∴AE=DB,
∵∠DCB=90°,
∴CE=BD,
∴AE=CE,
∵F是AC中点,
∴EF⊥AC;

(3)连接EO,
∵四边形ABCD为平行四边形,
∴O点为AC、BD中点,
∵∠AEC=90°,O为AC中点,

∵∠BED=90°,O为BD中点,

∴AC=BD,
∵平行四边形ABCD中,AC=BD,
∴四边形ABCD是矩形.
分析:(1)延长CD至点E,使CD=DE,连接AE、BE,然后证明四边形AEBC是矩形,再根据矩形的性质可得CD=AB;
(2)EF⊥AC,连接AE、CE,然后根据(1)中的结论得到AE=CE,再根据等腰三角形的性质可得EF⊥AC;
(3)连接EO,根据(1)中的结论可得OE=DB,OE=AC,进而得到AC=BD,根据对角线相等的平行四边形是矩形可得结论.
点评:此题主要考查了矩形的判定与性质,关键是掌握矩形的对角线相等且互相平分.
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