
证明:(1)如图,延长CD至点E,使CD=DE,连接AE、BE,
∵CD=DE,点D为AB中点,
∴四边形AEBC为平行四边形,
∵∠ACB=90°,
∴平行四边形AEBC是矩形,
∴CE=AB,
∵CD=

CE,
∴CD=

AB;
(2)EF⊥AC

.理由如下:
连接AE、CE,
∵∠BAD=90°,E为BD中点,
∴AE=

DB,
∵∠DCB=90°,
∴CE=

BD,
∴AE=CE,
∵F是AC中点,
∴EF⊥AC;
(3)连接EO,
∵四边形ABCD为平行四边形,

∴O点为AC、BD中点,
∵∠AEC=90°,O为AC中点,
∴

,
∵∠BED=90°,O为BD中点,
∴

,
∴AC=BD,
∵平行四边形ABCD中,AC=BD,
∴四边形ABCD是矩形.
分析:(1)延长CD至点E,使CD=DE,连接AE、BE,然后证明四边形AEBC是矩形,再根据矩形的性质可得CD=

AB;
(2)EF⊥AC,连接AE、CE,然后根据(1)中的结论得到AE=CE,再根据等腰三角形的性质可得EF⊥AC;
(3)连接EO,根据(1)中的结论可得OE=

DB,OE=

AC,进而得到AC=BD,根据对角线相等的平行四边形是矩形可得结论.
点评:此题主要考查了矩形的判定与性质,关键是掌握矩形的对角线相等且互相平分.