题目内容
（2006•咸宁）如图，等腰△ABC中，AC=BC，CD是底边上的高，∠A=30°．（1）CD与AB有什么数量关系？请说明理由；
（2）过点D作DD1⊥BC，垂足为D1；D1D2⊥AB，垂足为D2；D2D3⊥BC，垂足为D3；D3D4⊥AB，垂足为D4；…；D2n+1D2n⊥AB，垂足为D2n；D2n+1D2n⊥BC，垂足为D2n+1（n为非零自然数）．若CD=a，请用含a的代数式表示下表中线段的长度（请将结果直接填入表中）；
| 线段 | D1D2 | D3D4 | D5D6 | … | D2n-1 D2n |
| 长度 |  | … |
【答案】分析：（1）根据30°的正切值易得CD与AD之间的关系，而根据等腰三角形三线合一的性质可得AD等于BA的一半；
（2）易得∠DCB=60°，那么可根据60°的正弦值得到DD1=
a；同理可得D1D2=（
）2a=
a，按规律可得D3D4=（
）4a=
a，D5D6=（
）6a=
a，D2n-1D2n=（
）2na=（
）na；
（3）易得DB=8，利用（2）得到的结论，可算出D7D8的长度，利用30°的余弦值可求得所求线段的长度．
解答：解：（1）∵AC=BC，CD⊥AB，∴AD=BD=
AB．
在Rt△ACD中，
=tan30°，∴CD=ADtan30°=
AB×
AB．
（2）填表依次为：
（或
或
），
（或
或
），
（或
）
（3）∵整个屋架有18根辅柱，
∴右侧最短一根辅柱为D8D9，倒数第二根为D7D8，
D8D9=D7D8cos30°=（
）4a×cos30°=（
）4×
AB×cos30°
=（
）4×
×16×cos30°=
≈1.3（米）．
答：最短一根辅柱的长度约为1.3米．
点评：本题主要运用了等腰三角形的性质及锐角三角函数，注意总结规律的得出．
（2）易得∠DCB=60°，那么可根据60°的正弦值得到DD1=
a；同理可得D1D2=（）2a=a，按规律可得D3D4=（）4a=a，D5D6=（）6a=a，D2n-1D2n=（）2na=（）na；（3）易得DB=8，利用（2）得到的结论，可算出D7D8的长度，利用30°的余弦值可求得所求线段的长度．
解答：解：（1）∵AC=BC，CD⊥AB，∴AD=BD=
AB．在Rt△ACD中，
=tan30°，∴CD=ADtan30°=AB×AB．（2）填表依次为：
（或或），（或
或），（或）（3）∵整个屋架有18根辅柱，
∴右侧最短一根辅柱为D8D9，倒数第二根为D7D8，
D8D9=D7D8cos30°=（
）4a×cos30°=（）4×AB×cos30°=（
）4××16×cos30°=≈1.3（米）．答：最短一根辅柱的长度约为1.3米．
点评：本题主要运用了等腰三角形的性质及锐角三角函数，注意总结规律的得出．
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