Question

在△ABC与△BDE中，∠ABC=∠BDE=90°，BC=DE，AC=BE，M、N分别为AB、BD中点．连接MN交CE于点K．
（1）如图1．当C、B、D共线，AB=2BC时，探索CK与EK之间的数量关系，并证明；
（2）如图2，当C、B、D不共线，且AB≠2BC时，（1）中的结论是否成立，若成立，请证明；若不成立，请说明理由；
（3）将题中的条件“∠ABC=∠BDE=90°，BC=DE，AC=BE”都去掉，再添加一个条件，写出一个类似的对一般三角形都成立的问题．（画出图形，写出已知和结论，不用证明）

Answer 1

分析：（1）连接CM、BN，由已知易证得△ABC≌△BDE，可得到AB=BD；再通过证明△BCM≌△DEN，得CN=NE；接下来易证得△CMK≌△ENK，即可得CK=EK．
（2）过C、E分别作直线MK的垂线段，垂足分别为P、Q，首先证明△CMP≌△ENQ，可得PC=QE，然后易证明△CPQ≌△EQK，即得CK=EK．
（3）据题意，画出图形即可．

解答：解：（1）CK=EK；
证明：∵BC=DE，AC=BE，∠ABC=∠BDE=90°，
∴△ABC≌△BDE，
∴AB=BD；（1分）
∵M、N分别为AB、BD中点，AB=2BC，
∴BM=AM=BC=

1

2

AB=

1

2

BD=DN=BN，
∴∠BMN=∠BNM=∠DNE=∠BMC=45°，
∴∠CMN=∠MNE=90°，
连接CM、EN，
则△BCM≌△DEN，
∴CM=NE，又∠CKM=∠EKN，
∴△CMK≌△ENK，
∴CK=EK；

（2）CK=EK；
过C、E分别作直线MK的垂线段，垂足分别为P、Q，
由（1）知△ABC≌△BDE，△BCM≌△DEN，
∴BM=BN，CM=NE，∠DNE=∠CMB，
∴∠BNM=∠BMN，
∴180°-∠BNM-∠DNE=180°-∠BMN-∠CMB，
即∠CMP=∠ENQ，
又∵∠CPM=∠NQE=90°，CM=EN，
∴△CMP≌△ENQ，
∴PC=QE，
∵∠CPQ=∠EQP=90°，∠EKQ=∠CKP，
∴△CPK≌△EQK，
∴CK=KE；

（3）如图，△ABC≌△BDE，M、N分别为AB、DB中点，直线MN交CE于K．
结论：CK=EK．

点评：三角形全等的判定是中考的热点，一般以考查三角形全等的方法为主，判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件．解答此题的关键在于正确作出辅助线．