Question

探究型问题
如图所示，在同一平面内，两条直线相交时最多有1个交点，三条直线相交时最多有3个交点，四条直线相交时最多有6个交点．

（1）当五条直线相交时交点最多会有多少个？
（2）猜想n条直线相交时最多有几个交点？（用含n的代数式表示）
（3）算一算，同一平面内10条直线最多有多少个？
（4）平面上有10条直线，无任何3条交于一点（3条以上交于一点也无），也无重合，它们会出现31个交点吗？如果能给出一个画法；如果不能请说明理由．

Answer 1

解：（1）如图，∵两条直线相交，最多有1个交点，
三条直线相交，最多有1+2=3个交点，
四条直线相交，最多有1+2+3=6个交点．
∴五条直线相交，最多有1+2+3+4=10个交点；

（2）n条直线相交，最多有1+2+3+…+（n-1）=个交点；

（3）10条直线相交，最多有=45个交点；

（4）会出现31个交点，如下图所示：

分析：（1）要探求相交直线的交点的最多个数，则应尽量让每两条直线产生不同的交点．根据两条直线相交有一个交点，画第五条直线时，应尽量和前面四条直线都产生交点，即增加4个交点，则有6+4=10个交点；
（2）根据已知条件，求得n条直线相交，最多有1+2+3+…+（n-1）=个交点；
（3）将n=10代入上式即可求解；
（4）可使5条直线平行，另3条直线平行且都与这5条相交，再有2条直线平行且都与这5条直线相交，且3条和2条也有相交．
点评：此题考查平面内不重合直线的位置关系，是寻找规律的题型，找到n条直线相交，最多有个交点是解题的关键．