题目内容

【题目】阅读材料,解决问题
平面内的两条直线相交和平行两种位置关系,如图①,若AB∥CD,点P在AB、CD外部,则有∠B=∠BOD,又因为∠BOD是△POD的外角,所以∠BOD=∠BPD+∠D,得∠BPD=∠B﹣∠D.

(1)将点P移到AB、CD内部,其余条件不变,如图②,以上结论是否成立?若成立,说明理由;若不成立,则∠BPD、∠B、∠D之间有何数量关系?请证明你的结论;

(2)在图②中,将直线AB绕点B逆时针方向旋转一定角度交直线CD于点Q,如图③,能否借助(1)中的图形与结论,找出图③中∠BPD、∠B、∠D、∠BQD之间有何数量关系?并说明理由.

【答案】
(1)解:结论不成立,∠BPD=∠B+∠D.

作PQ∥AB,如图2,

∵AB∥CD,

∴AB∥PQ∥CD,

∴∠1=∠B,∠2=∠D,

∴∠BPD=∠B+∠D


(2)解:∠BPD=∠B+∠D+∠BQD.理由如下:

连结QP并延长到E,如图3,

∵∠1=∠B+∠BQP,∠2=∠D+∠DQP,

∴∠1+∠2=∠B+∠BQP+∠D+∠DQP,

∴∠BPD=∠B+∠D+∠BQD.


【解析】(1)作PQ∥AB,根据平行线性质得AB∥PQ∥CD,则∠1=∠B,∠2=∠D,得出∠BPD=∠B+∠D;(2)连结QP并延长到E,根据三角形外角性质得∠1=∠B+∠BQP,∠2=∠D+∠DQP,然后把两式相加即可得到∠BPD=∠B+∠D+∠BQD.
【考点精析】通过灵活运用平行线的性质和旋转的性质,掌握两直线平行,同位角相等;两直线平行,内错角相等;两直线平行,同旁内角互补;①旋转后对应的线段长短不变,旋转角度大小不变;②旋转后对应的点到旋转到旋转中心的距离不变;③旋转后物体或图形不变,只是位置变了即可以解答此题.

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