Question

如图1，已知O是锐角∠XAY的边AX上的动点，以点O为圆心、R为半径的圆与射线AY切于点B，交射线OX于点C，连接BC，作CD⊥BC，交AY于点D．
（1）求证：△ABC∽△ACD；
（2）若P是AY上一点，AP=4，且sinA=

3

5

，
①如图2，当点D与点P重合时，求R的值；
②当点D与点P不重合时，试求PD的长（用R表示）．

Answer 1

分析：（1）根据切线的性质得到∠ABO=90°，易证∠ABC=∠ACD，从而根据两个角对应相等得到两个三角形相似；
（2）根据（1）中的相似三角形得到对应边的比相等，再结合锐角三角函数的概念，把AD用R表示，①根据AD=AP求得R的值；②应分两种情况讨论，点D可能在点P的左侧或右侧．

解答：（1）证明：由已知，CD⊥BC，
∴∠ADC=90°-∠CBD．
又∵⊙O切AY于点B，
∴OB⊥AB．
∴∠OBC=90°-∠CBD．
∴∠ADC=∠OBC．
又在⊙O中，OB=OC=R，
∴∠OBC=∠ACB．
∴∠ACB=∠ADC．
又∠A=∠A，
∴△ABC∽△ACD．

（2）解：由已知，sinA=

3

5

，
又OB=OC=R，OB⊥AB，
∴在Rt△AOB中，AO=

OB

sinA

=

R

3 5

=

5

3

R，AB=

( 5 3 R)2-R2

=

4

3

R．
∴AC=

5

3

R+R=

8

3

R．
由（1）已证，△ABC∽△ACD，
∴

AC

AB

=

AD

AC

．
∴

8 3 R

4 3 R

=

AD

8 3 R

．
因此AD=

16

3

R．
①当点D与点P重合时，AD=AP=4，
∴

16

3

R=4．
∴R=

3

4

．
②当点D与点P不重合时，有以下两种可能：
（i）若点D在线段AP上（即0＜R＜

3

4

），PD=AP-AD=4-

16

3

R，
（ii）若点D在射线PY上（即R＞

3

4

），PD=AD-AP=

16

3

R-4，
综上，当点D在线段AP上（即0＜R＜

3

4

）时，PD=4-

16

3

R，
当点D在射线PY上（即R＞

3

4

）时，PD=

16

3

R-4，
又当点D与点P重合（即R=

3

4

）时，PD=0，故在题设条件下，总有PD=|

16

3

R-4|（R＞0）．

点评：此题要能够熟练运用切线的性质定理、相似三角形的性质和判定．