题目内容

(1998•台州)如图,已知C是以AB为直径的半圆上的一点,AB=10,CD⊥AB于D点,以AD、DB为直径画两个半圆,EF是这两个半圆的外公切线,E、F为切点.
(1)求证:CD=EF;
(2)求证:四边形EDFC是矩形;
(3)若DB=|m|,则m是使关于x的方程x2+2(m-1)x+m2+3=0的两个实根的平方和为22的实数值,求矩形EDFC的面积.

【答案】分析:(1)利用垂径定理和两圆外公切线的性质,作辅助线,就可以得到两条线段的相等关系.
(2)关键是先判断△EDF是直角三角形,再利用三角形的全等,可得出另外两个90°的角,因此得证.
(3)先利用根与系数的关系,可求出DB,从而求出AD,再利用勾股定理求出AC,BC的值,再通过平行线分线段成比例性质可求出DF,DE.那么矩形面积就可求了.
解答:(1)证明:取AD的中点O1,BD的中点O2,连接O1E,O2F,并过O2作O2H⊥O1E,交O1E于H.
∵EF是两圆的公切线,
∴O1E⊥EF,O2F⊥EF,
又∵O2H⊥O1E,
∴四边形EHO2F是矩形
∴EF=O2H
在Rt△O1O2H中,O2H2=(AD+BD)2-(AD-BD)2=AD•BD
∵CD⊥AB
∴CD2=AD•BD
∴CD=O2H=EF.

(2)证明:先设CD和EF交于点G,
∵EF,CD都是两圆的切线,
∴GD=GE=GF.
∴△EDF是直角三角形.
∴∠EDF=90°.
又∵DE=ED,∠FED=∠CDE,CD=FE,
∴△EDF≌△DEC.
∴∠DEC=90°.
同理∠DFC=90°.
∴四边形EDFC是矩形.

(3)解:设x1,x2是方程的两个实数根,
根据题意得,
还能得到,x12+x22=22,三个式子联合,
解得,m1=-2,m2=6
根据图形可知,0<DB<5
DB=|-2|=2,
AD=8.
∵四边形EDFC是矩形,
∴C、F、B在同一直线上,同样C、E、A也在同一直线上.
∴DF∥AC.

由(1)知,CD2=AD•BD=16,
∴CD=4.
在Rt△CDB中,BC==2
∴DE=×BC=
同理可得,DF=
∴S矩形EDFC=CF•DF=×=
点评:本题利用了外切两圆的公切线的性质,以及矩形的判定和性质,还有直角三角形的判定和性质,全等三角形的判定和性质,根与系数的关系,勾股定理,平行线分线段成比例性质以及矩形面积公式等知识.
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