Question

涪陵榨菜是重庆市农村经济中产销规模最大、品牌知名度最高、辐射带动能力最强的特色支柱产业．某知名榨菜企业为顺应市场需求推出了“五味榨菜”礼盒，成本为20元/盒．年销售量y（万盒）与售价x（元/盒）之间满足一次函数关系，其图象如图所示．
（1）结合图象求y与x之间的函数关系；
（2）求“五味榨菜”礼盒的年获利w（万元）与x之间的函数关系，并求当售价为多少元时可以获得最大利润，最大利润是多少万元？
（3）去年，公司一直按照（2）中获得最大利润时的售价进行销售，今年在保持售价不变的基础上，公司发力品牌营销，决定拿出部分资金进行广告宣传．经调查发现：①每年有11万盒产品供给固定客户，其余产品全部被潜在客房购买；②若广告投入为a万元，则潜在客户的购买量将是去年购买量的m倍，则m=-

1

900

(a-30)2+2；③受公司生产规模及资金限制，公司的年产量不超过28万盒，广告投入不超过32万元．问公司在广告上投入多少资金可以使公司获得最大利润，最大利润为多少万元？（利润=总销售额-总成本-广告费）

Answer 1

分析：（1）根据函数图象可得经过点（20，40），（30，20），利用待定系数法求解析式即可．
（2）表示出w与x之间的函数关系式，然后利用配方法可确定答案；
（3）先求出潜在客户的购买量，根据②、③的要求可得出a的值，结合二次函数的知识确定最大利润．

解答：解：（1）设y=kx+b，将点（20，40），（30，20）代入得：

20k+b=40 30k+b=20

，
解得：

k=-2 b=80

，
故y=-2x+80；
（2）w=（x-20）×（-2x+80）=-2x²+120x-1600=-2（x-30）²+200，
当x=30时，w_最大=200．
答：定价为30元时，利润最大，最大利润为200万元．
（3）当x=30时，y=20，则潜在客户购买量为20-11=9万盒，
w=（30-20）×11+（30-20）×9[-

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900

（a-30）²+2]-a
=-

1

10

a²+5a+200
=-

1

10

（a-25）²+262.5，
由题意：11+9[-

1

900

（a-30）²+2]≤28，
整理得：（a-30）²≥100，
解（a-30）²=100得：a₁=40，a₂=20，

由图知0≤a≤20或a≥40，
又∵a≤32，
∴0≤a≤20，
在w=-

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10

（a-25）²+262.5中，当a＜25时，w随a的增大而增大，
故当a=20时，w_最大=-

1

10

（20-25）²+262.5=260．
答：当广告费为20万时，利润最大，最大利润为260万元．

点评：本题考查了二次函数的应用及一次函数的应用，涉及了待定系数法求函数解析式及配方法求二次函数最值得知识，难点在第三问，注意先吃透题意，然后再利用数学知识求解．