题目内容
【题目】在直角坐标系xOy中,定义点C(a,b)为抛物线L:y=ax2+bx(a≠0)的特征点坐标.
(1)已知抛物线L经过点A(﹣2,﹣2)、B(﹣4,0),求出它的特征点坐标;
(2)若抛物线L1:y=ax2+bx的位置如图所示:
①抛物线L1:y=ax2+bx关于原点O对称的抛物线L2的解析式为 ;
②若抛物线L1的特征点C在抛物线L2的对称轴上,试求a、b之间的关系式;
③在②的条件下,已知抛物线L1、L2与x轴有两个不同的交点M、N,当一点C、M、N为顶点构成的三角形是等腰三角形时,求a的值.
【答案】(1)(,2);(2)①y=﹣ax2+bx.②b=2a2.③﹣
或﹣
.
【解析】
试题分析:(1)结合点A、B点的坐标,利用待定系数法即可求出抛物线L的函数解析式,再结合特征点的定义,即可得出结论;(2)①由抛物线L1:y=ax2+bx与抛物线L2关于原点O对称,可将y换成﹣y,将x换成﹣x,整理后即可得出结论;②根据抛物线L2的解析式可找出它的对称轴为:x=,由抛物线L1的特征点C在抛物线L2的对称轴上可得出a=
,变形后即可得出结论;③结合②的结论,表示出点C、M、N三点的坐标,由两点间的距离公式可得出MN、MC、NC的长度,结合等腰三角形的性质分三种情况考虑,分别根据线段相等得出关于a的一元四次方程,解方程再结合a的范围即可得出a的值.
试题解析:(1)将点A(﹣2,﹣2)、B(﹣4,0)代入到抛物线解析式中,得,解得:
.∴抛物线L的解析式为y=
+2x,∴它的特征点为(
,2).(2)①∵抛物线L1:y=ax2+bx与抛物线L2关于原点O对称,∴抛物线L2的解析式为﹣y=a(﹣x)2+b(﹣x),即y=﹣ax2+bx.故答案为:y=﹣ax2+bx.②∵抛物线L2的对称轴为直线:x=﹣
=
.∴当抛物线L1的特征点C(a,b)在抛物线L2的对称轴上时,有a=
,∴a与b的关系式为b=2a2.③∵抛物线L1、L2与x轴有两个不同的交点M、N,∴在抛物线L1:y=ax2+bx中,令y=0,即ax2+bx=0,解得:x1=﹣
,x2=0(舍去),即点M(﹣
,0);在抛物线L2:y=﹣ax2+bx中,令y=0,即﹣ax2+bx=0,解得:x1=
,x2=0(舍去),即点N(
,0).∵b=2a2,∴点M(﹣2a,0),点N(2a,0),点C(a,2a2).∴MN=2a﹣(﹣2a)=4a,MC=
,NC=
.因此以点C、M、N为顶点的三角形是等腰三角形时,有以下三种可能:(1)MC=MN,此时有:
=4a,即9a2+4a4=16a2,解得:a=0,或a=±
,∵a<0,∴a=﹣
;(2)NC=MN,此时有:
=4a,即a2+4a4=16a2,解得:a=0,或a=±
,∵a<0,∴a=﹣
;(3)MC=NC,此时有:
=
,即9a2=a2,解得:a=0,又∵a<0,∴此情况不存在.综上所述:当以点C、M、N为顶点的三角形是等腰三角形时,a的值为﹣
或﹣
.
