题目内容
a为正整数．记号[2a+1，2a+2，2a+3]表示2a+1，2a+2，2a+3的最小公倍数，以N表示它，若2a+4整除N，求a．分析：利用已知得出
一定是整数，利用整除的性质，得出一定有（2a+1）=k（a+2），或a+1=k（a+2）或2a+3=k（a+2）；k为正整数，结合不等式的性质得出a的值．
| (2a+1)(a+1)(2a+3) |
| a+2 |
解答：解：∵2a+1，2a+2，2a+3的最小公倍数是N，
∴可得到：（2a+1）（a+1）（2a+3）=N，
又因为2a+4整除N，
∴
一定是整数，
∴一定有（2a+1）=k（a+2），或a+1=k（a+2）或2a+3=k（a+2）；
当（2a+1）=k（a+2），k为正整数，
∴（2-k）a=2k-1
a=
，∵a为正整数，
∴2-k≥2k-1，∴k≤1，又∵k＞0，且为正整数，
∴k=1，代入上式得：a=1；
当a+1=k（a+2），k为正整数，
∴（1-k）a=2k-1
∴a=
，∵a为正整数，
∴2k-1≥1-k，∴k≥
，
又∵（1-k）＞0，且为正整数，
∴k＜1，∴
≤k＜1．
∴没有正整数k符合要求；
当2a+3=k（a+2），k为正整数，
∴（2-k）a=2k-3
∴a=
，∵a为正整数，
∴2k-3≥2-k，∴k≥
又∵（2-k）＞0，且为正整数，
∴k＜2，∴
≤x＜2；
∴没有正整数k符合要求．
综上所述：a=1．
∴可得到：（2a+1）（a+1）（2a+3）=N，
又因为2a+4整除N，
∴
| (2a+1)(a+1)(2a+3) |
| a+2 |
∴一定有（2a+1）=k（a+2），或a+1=k（a+2）或2a+3=k（a+2）；
当（2a+1）=k（a+2），k为正整数，
∴（2-k）a=2k-1
a=
| 2-k |
| 2k-1 |
∴2-k≥2k-1，∴k≤1，又∵k＞0，且为正整数，
∴k=1，代入上式得：a=1；
当a+1=k（a+2），k为正整数，
∴（1-k）a=2k-1
∴a=
| 2k-1 |
| 1-k |
∴2k-1≥1-k，∴k≥
| 2 |
| 3 |
又∵（1-k）＞0，且为正整数，
∴k＜1，∴
| 2 |
| 3 |
∴没有正整数k符合要求；
当2a+3=k（a+2），k为正整数，
∴（2-k）a=2k-3
∴a=
| 2k-3 |
| 2-k |
∴2k-3≥2-k，∴k≥
| 5 |
| 3 |
又∵（2-k）＞0，且为正整数，
∴k＜2，∴
| 5 |
| 3 |
∴没有正整数k符合要求．
综上所述：a=1．
点评：此题主要考查了整数根的求法和最小公倍数的性质，以及不等式知识的综合应用等知识．
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