Question

【题目】如图，点F在正方形ABCD的AD边上，连接BF．把△ABF沿BF折叠，与△GBF重合．连接AG并延长交CD于点E，交BF于点H．

（1）证明：BF=AE；

（2）若AB=15，EC=7，求GE的长．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）

【解析】

（1）根据正方形的性质和折叠及轴对称的性质证明△ABF≌△DAE，再利用全等三角形的性质即可证明结论；

（2）首先根据△ABF≌△DAE得出，然后根据正方形的性质和勾股定理求出BF的长度，然后利用的面积求出AH的长度，进而可求AG的长度，最后利用GE＝AE﹣AG即可求解．

（1）证明：∵四边形ABCD为正方形，

∴AB＝AD，∠BAD＝∠D＝90°，

由折叠及轴对称的性质可知，△ABF≌△GBF，BF垂直平分AG，

∴BF⊥AE，AH＝GH，

∴∠BAH+∠ABH＝90°，

又∵∠FAH+∠BAH＝90°，

∴∠ABH＝∠FAH，

∴△ABF≌△DAE，

∴BF＝AE；

（2）解：∵四边形ABCD为正方形，

∴AB＝CD＝15．

∵CE＝7，

∴DE＝15﹣7＝8．

∵△ABF≌△DAE （已证），

∴AF＝DE=8．

在Rt△ABF中，

BF＝＝17，

S△ABF＝ABAF＝BFAH，

∴15×8＝17AH，

∴AH＝，

∴AG＝2AH＝，

∵AE＝BF＝17，

∴GE＝AE﹣AG＝17﹣＝．