Question

（2009•峨边县模拟）（1）对于正数x，规定f（x）=，例如f（3）==，f（）==
计算：f（+f（）+f（）+…+f（）+f（）+f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2007）+f（2008）+f（2009）
（2）已知：如图，O为平面直角坐标系的原点，半径为1的⊙B经过点O，且与x，y轴分交于点A，C，点A的坐标为，AC的延长线与⊙B的切线OD交于点D．求∠CAO的度数．

Answer 1

【答案】分析：（1）可以发现，故原式可化为：+1+1+1+…+1+1+1，共有2008个1，故可得到结果．
（2）由AC为直径，可知AC=2，有OA=，则在Rt△ABC中，由勾股定理求得OC的值，再由正弦的概念求得∠CAO的度数．
解答：解：
（1）∵，；
∴；
原式=+
=+1+1+1+…+1+1+1
=2008；

（2）

∵∠AOC=90°，
∴AC是⊙B的直径，
∴AC=2
又∵点A的坐标为，
∴，
∴
∴，
∴∠CAO=30°．
点评：本题的第（1）小题，找到是解题的关键，第（2）小题主要是解直角三角形．