题目内容
如图所示，某同学在探究二次函数图象时，作直线y=m平行于x轴，交二次函数y=x2的图象于A、B两点，作AC、BD分别垂直于x轴，发现四边形ABCD是正方形．（1）求m的值及A、B两点的坐标；
（2）如图所示，将抛物线“y=x2”改为“y=x2-2x+2”，直线CD经过抛物线的顶点P与x轴平行，其它关系不变，求m的值及A、B两点的坐标．
（3）如图所示，将图中的改为“y=ax2+bx+c（a＞0），其它关系不变，请直接写出m的值及A、B两
点的坐标（用含有a、b、c的代数式表示）[提示：抛物线y=ax2+bx+c的顶点坐标为（-
| b |
| 2a |
| 4ac-b2 |
| 4a |
| b |
| 2a |
分析：（1）利用正方形的性质和二次函数的对称性解答第一问；
（2）用配方法求出y=x2-2x+2的顶点坐标，用m表示A、B两点的坐标．把其中一点代入函数解析式，求出m的值，问题得解；
（3）先由抛物线y=ax2，求得m=
，A（
，
），B（-
，
），再由抛物线y=ax2+bx+c顶点坐标（-
，
）平移整理即得．
（2）用配方法求出y=x2-2x+2的顶点坐标，用m表示A、B两点的坐标．把其中一点代入函数解析式，求出m的值，问题得解；
（3）先由抛物线y=ax2，求得m=
| 4 |
| a |
| 2 |
| a |
| 4 |
| a |
| 2 |
| a |
| 4 |
| a |
| b |
| 2a |
| 4ac-b2 |
| 4a |
解答：解：（1）∵四边形ABCD是正方形，由抛物线y=x2的对称性可知，OD=
AD
∴设点A坐标为（
m，m），
代入y=x2，
得m=(
m)2
解得m1=0（舍去），m2=4，
∴m的值是4，点A的坐标为（2，4），
由抛物线的对称性，可得B点坐标为（-2，4）；
（2）如图，
∵y=x2-2x+2=（x-1）2+1，
∴抛物线的顶点P坐标为（1，1），
由题意，点A的纵坐标为m，
∴AD=m-1，
设直线CD与y轴交点为Q，
则DQ=
+1=
m+
，
∴点A的坐标为（
m+
，m），
代入y=x2-2x+2中，
整理得m2-6m+5=0，
解得m1=1（舍去），m2=5，
∴m的值为5，点A的坐标为（3，5）
∴由抛物线的对称性，可求得点B的坐标为（-1，5）；
（3）m=
，
A（
，
），
B（
，
），
由抛物线y=ax2，求得m=
，
A、B两点坐标为A（
，
），B（-
，
），
把A、B两点先右移（-
）个单位，再上移（
）个单位，
整理得A（
，
），B（
，
）．
| 1 |
| 2 |
∴设点A坐标为（
| 1 |
| 2 |
代入y=x2，
得m=(
| 1 |
| 2 |
解得m1=0（舍去），m2=4，
∴m的值是4，点A的坐标为（2，4），
由抛物线的对称性，可得B点坐标为（-2，4）；
（2）如图，
∵y=x2-2x+2=（x-1）2+1，∴抛物线的顶点P坐标为（1，1），
由题意，点A的纵坐标为m，
∴AD=m-1，
设直线CD与y轴交点为Q，
则DQ=
| m-1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
∴点A的坐标为（
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
代入y=x2-2x+2中，
整理得m2-6m+5=0，
解得m1=1（舍去），m2=5，
∴m的值为5，点A的坐标为（3，5）
∴由抛物线的对称性，可求得点B的坐标为（-1，5）；
（3）m=
| 4ac-b2+16 |
| 4a |
A（
| -b+4 |
| 2a |
| 4ac-b2+16 |
| 4a |
B（
| -b-4 |
| 2a |
| 4ac-b2+16 |
| 4a |
由抛物线y=ax2，求得m=
| 4 |
| a |
A、B两点坐标为A（
| 2 |
| a |
| 4 |
| a |
| 2 |
| a |
| 4 |
| a |
把A、B两点先右移（-
| b |
| 2a |
| 4ac-b2 |
| 4a |
整理得A（
| -b+4 |
| 2a |
| 4ac-b2+16 |
| 4a |
| -b-4 |
| 2a |
| 4ac-b2+16 |
| 4a |
点评：本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有抛物线的顶点公式、抛物线的对称性及图象的平移，计算中要结合图形及实际情况解答．
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点的坐标（用含有a、b、c的代数式表示）
，
），对称轴为
]．
，
），对称轴为
]．