题目内容
(本小题10分)在平面直角坐标系中,将直线l:沿x轴翻折,得到一条新直线与x轴交于点A,与y轴交于点B,将抛物线:沿x轴平移,得到一条新抛物线与y轴交于点D,与直线AB交于点E、点F.
(Ⅰ)求直线AB的解析式;
(Ⅱ)若线段DF∥x轴,求抛物线的解析式;
(Ⅲ)在(2)的条件下,若点F在y轴右侧,过F作FH⊥x轴于点G,与直线l交于点H,一条直线m(m不过△AFH的顶点)与AF交于点M,与FH交于点N,如果直线m既垂直于直线AB又平分△AFH的面积,求直线m的解析式.
解:(1)设直线AB的解析式为.
将直线与x轴、y轴交点分别为(-2,0),(0,),
沿x轴翻折,则直线、直线AB
与x轴交于同一点(-2,0),
∴A(-2,0).
与y轴的交点(0,)与点B关于x轴对称,
∴B(0,),
∴
解得,.
∴直线AB的解析式为.·························································· 3分
(2)设平移后的抛物线的顶点为P(h,0),
则抛物线解析式为:=.
∴D(0,). ………4分
∵DF∥x轴,
∴点F(2h,), ………5分
又点F在直线AB上,
∴. ………6分
解得,.
∴抛物线的解析式为或.………7分
(3)过M作MT⊥FH于T,
∴Rt△MTF∽Rt△AGF.
∴.
设FT=3k,TM=4k,FM=5k.
则FN=-FM=16-5k.……………8分
∴.
∵=48,
又.
∴.
解得或(舍去).
∴FM=6,FT=,MT=,GN=4,TG=.
∴M(,)、N(6,-4).
∴直线MN的解析式为:.······················································ 10分
解析