Question

（2006•北京）已知抛物线y=ax²+bx+c与y轴交于点A（0，3），与x轴分别交于B（1，0）、C（5，0）两点．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）若点D为线段OA的一个三等分点，求直线DC的解析式；
（3）若一个动点P自OA的中点M出发，先到达x轴上的某点（设为点E），再到达抛物线的对称轴上某点（设为点F），最后运动到点A′求使点P运动的总路径最短的点E、点F的坐标，并求出这个最短总路径的长．

Answer 1

【答案】分析：（1）由于A、B、C三点的坐标已知，代入函数解析式中利用待定系数法就可以确定函数的解析式；
（2）若点D为线段OA的一个三等分点，那么根据已知条件可以确定D的坐标为（0，1）或，（0，2），而C的坐标已知，利用待定系数法就可以确定直线CD的解析式；
（3）如图，由题意，可得M（0，），点M关于x轴的对称点为M′（0，-），点A关于抛物线对称轴x=3的对称点为A'（6，3），连接A'M'，根据轴对称性及两点间线段最短可知，A'M'的长就是所求点P运动的最短总路径的长，根据待定系数法可求出直线A'M'的解析式为y=x-，从而求出E、F两点的坐标，再根据勾股定理可以求出A'M'=，也就求出了最短总路径的长．
解答：解：（1）根据题意，c=3，
所以
解得
所以抛物线解析式为y=x²-x+3．

（2）依题意可得OA的三等分点分别为（0，1），（0，2）．
设直线CD的解析式为y=kx+b．
当点D的坐标为（0，1）时，直线CD的解析式为y=-x+1；（3分）
当点D的坐标为（0，2）时，直线CD的解析式为y=-x+2．（4分）

（3）如图，由题意，可得M（0，）．
点M关于x轴的对称
点为M′（0，-），
点A关于抛物线对称轴x=3的对称点为A'（6，3）．
连接A'M'．
根据轴对称性及两点间线段最短可知，A'M'的长就是所求点P运动的最短总路径的长．（5分）
所以A'M'与x轴的交点为所求E点，与直线x=3的交点为所求F点．
可求得直线A'M'的解析式为y=x-．
可得E点坐标为（2，0），F点坐标为（3，）．（7分）
由勾股定理可求出．
所以点P运动的最短总路径（ME+EF+FA）的长为．（8分）
点评：本题着重考查了待定系数法求二次函数解析式，一次函数的解析式，图形的对称变换，求最短线段之和等重要知识点，综合性强，能力要求极高．考查学生分类讨论，数形结合的数学思想方法．