Question

课本第五册第65页有一题：
已知一元二次方程ax²-

2

bx+c=0的两个根满足|x₁-x₂|=

2

，且a，b，c分别是△ABC的∠A，∠B，∠C的对边．若a=c，求∠B的度数．
小敏解得此题的正确答案“∠B=120°”后，思考以下问题，请你帮助解答．
（1）若在原题中，将方程改为ax²-

3

bx+c=0，要得到∠B=120°，而条件“a=c”不变，那么应对条件中的|x₁-x₂|的值作怎样的改变并说明理由；
（2）若在原题中，将方程改为ax²-

n

bx+c=0（n为正整数，n≥2），要得到∠B=120°，而条件“a=c”不变，那么条件中的|x₁-x₂|的值应改为多少？（不必说明理由）

Answer 1

分析：（1）因为∠B=120°，a=c，所以b=

3

a，代入原方程得△=5a²＞0，故可根据一元二次方程根与系数的关系解答；
（2）同（1）．

解答：解：（1）∵∠B=120°，a=c．
∴b=

3

a．
则原方程可化为ax²-3ax+a=0．
△=9a²-4a²=5a²＞0．
又∵|x₁-x₂|=

(x1+x2)2-4x1x2

=

3b2 a2 - 4c a

．
∴|x₁-x₂|=

5

；

（2）若∠B=120°．
则b=

3

a代入原方程得ax²-

3n

ax+c=0．
由一元二次方程根与系数的关系可得，x₁+x₂=

3n a

a

=

3n

．
x₁•x₂=

c

a

=1．
故|x₁-x₂|=

(x1+x2)2-4x1x2

=

( 3n )2-4

=

3n-4

．

点评：解决本题的关键是根据一元二次方程根与系数的关系，求出方程的两根的和与两根的积，理解|x₁-x₂|=

(x1+x2)2-4x1x2

这一等量关系．