Question

已知，二次函数y=的图象与x轴相交于A（x₁，0）、B（x₂，0）两点，且x₁＜0，x₂＞0，图象与y轴交于点C，OB=2OA；
（1）求二次函数的解析式；
（2）在x轴上，点A的左侧，求一点E，使△ECO与△CAO相似，并说明直线EC经过（1）中二次函数图象的顶点D；
（3）过（2）中的点E的直线y=与（1）中的抛物线相交于M、N两点，分别过M、N作x轴的垂线，垂足为M′、N′，点P为线段MN上一点，点P的横坐标为t，过点P作平行于y轴的直线交（1）中所求抛物线于点Q，是否存在t值，使S_梯形MM'N'N：S_△QMN=35：12？若存在，求出满足条件的t值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）∵二次函数y=-x²-（m+3）x+m²-12的图象与x轴相交于A（x₁，0）、B（x₂，0）两点，
∴x₁+x₂=-2（m+3），x₁x₂=-2（m²-12）．
又∵x₁＜0，x₂＞0，OB=2OA，
∴x₂=-2x₁．
整理得：m²+8m+16=0，
解得m₁=m₂=-4．
∴二次函数的解析式为：y=-x²+x+4．

（2）∵二次函数的解析式为：y=-x²+x+4，
∴点A（-2，0）、B（4，0）、C（0，4）．
设点E（x，0），则OE=-x．
∵∠COA=∠EOC=90°，
要使△ECO∽△CAO，
只有．
∴，
∴x=-8．
∴当点E坐标为（-8，0），△ECO与△CAO相似．
设直线EC解析式为：y=k′x+b′，
将点E、点C的坐标代入得：，
解得，
∴直线EC的解析式为：y=x+4．
∵抛物线顶点D（1，），
分别将点D的坐标代入解析式的左右式，得到左式=右式．
∴直线EC经过（1）中抛物线的顶点D．

（3）存在t值，使S_梯形MM'N'N：S_△QMN=35：12．
∵直线y=x+b过点E（-8，0），
∴0=×（-8）+b，
∴b=2．
∴y=x+2．
∴x=4（y-2）
∵直线y=x+2与（1）中的二次函数y=-x²+x+4相交于M、N两点，
∴y=-+4（y-2）+4，整理得8y²-35y+36=0．
设M（x_m，y_m），N（x_n，y_n），
∴MM′=y_m，NN′=y_n．
∴y_m，y_n是方程8y²-35y+36=0的两个实数根，
∴y_m+y_n=．
∴S_梯形MM'N'N=（y_m+y_n）（x_n-x_m）．∵点P在直线y=x+2上，点Q在（1）中的抛物线上，
∴点P（t，t+2），点Q（t，-t²+t+4）．
∴PQ=-t²+t+4-t-2=-t²+t+2，
分别过M、N作直线PQ的垂线，垂足为点G、H，
则GM=t-x_m，NH=x_n-t．
∴S_△QMN=S_△QMP+S_△QNP==PQ•（x_n-x_m）=（-t²+t+2）（x_n-x_m）．
∵S_梯形MM'N'N：S_△QMN=35：12，
∴，
∴．
整理得：2t²-3t-2=0，
解得：t₁=-，t₂=2．
∴当t=-或t=2时，S_梯形MM'N'N：S_△QMN=35：12．
分析：（1）由二次函数y=-x²-（m+3）x+m²-12的图象与x轴相交于A（x₁，0）、B（x₂，0）两点，根据根与系数的关系与OB=2OA，即可求得m的值，则可得二次函数的解析式；
（2）由二次函数的解析式为：y=-x²+x+4，求得A，B，C的坐标，设点E（x，0），则OE=-x，根据相似三角形的判定方法即可求得点E的坐标，然后设直线EC解析式为：y=k′x+b′，由待定系数法即可求得直线EC的解析式，又由抛物线顶点D（1，），分别将点D的坐标代入解析式的左右式，即可得直线EC经过（1）中抛物线的顶点D；
（3）由直线y=x+2与（1）中的二次函数y=-x²+x+4相交于M、N两点，设M（x_m，y_m），N（x_n，y_n），可得MM′=y_m，NN′=y_n．又由y_m，y_n是方程8y²-35y+36=0的两个实数根，求得y_m+y_n的值，继而求得点P（t，t+2），点Q（t，-t²+t+4）．又由S_△QMN=S_△QMP+S_△QNP与S_梯形MM'N'N：S_△QMN=35：12，则可求得当t=-或t=2时，S_梯形MM'N'N：S_△QMN=35：12．
点评：此题考查了待定系数法求函数的解析式，根与系数的关系点与函数的关系以及三角形的面积问题等知识．此题综合性很强，难度很大，解题的关键是方程思想与数形结合思想的应用．