Question

把两个全等的直角三角板的斜边重合，组成一个四边形ABCD以D为顶点作∠MDN，交边AC、BC于M、N．
（1）若∠ACD=30°，∠MDN=60°，当∠MDN绕点D旋转时，AM、MN、BN三条线段之间有何种数量关系？证明你的结论；
（2）当∠ACD+∠MDN=90°时，AM、MN、BN三条线段之间有何数量关系？证明你的结论；
（3）如图③，在（2）的结论下，若将M、N分改在CA、BC的延长上，完成图3，其余条件不变，则AM、MN、BN之间有何数量关系（直接写出结论，不必证明）

Answer 1

（1）AM+BN=MN，
证明：延长CB到E，使BE=AM，
∵∠A=∠CBD=90°，
∴∠A=∠EBD=90°，
在△DAM和△DBE中
，
∴△DAM≌△DBE，
∴∠BDE=∠MDA，DM=DE，
∵∠MDN=∠ADC=60°，
∴∠ADM=∠NDC，
∴∠BDE=∠NDC，
∴∠MDN=∠NDE，
在△MDN和△EDN中
，
∴△MDN≌△EDN，
∴MN=NE，
∵NE=BE+BN=AM+BN，
∴AM+BN=MN．

（2）AM+BN=MN，
证明：延长CB到E，使BE=AM，连接DE，
∵∠A=∠CBD=90°，
∴∠A=∠DBE=90°，
∵∠CDA+∠ACD=90°，∠MDN+∠ACD=90°，
∴∠MDN=∠ADC，
∵∠ADN=∠BDC，
∴∠MDA=∠CDN，∠CDM=∠NDB，
在△DAM和△DBE中
，
∴△DAM≌△DBE，
∴∠BDE=∠MDA=∠CDN，DM=DE，
∵∠MDN+∠ACD=90°，∠ACD+∠ADC=90°，
∴∠NDM=∠ADC=∠CDB，
∴∠ADM=∠CDN=∠BDE，
∵∠CDM=∠NDB
∴∠MDN=∠NDE，
在△MDN和△EDN中
，
∴△MDN≌△EDN，
∴MN=NE，
∵NE=BE+BN=AM+BN，
∴AM+BN=MN．

（3）BN-AM=MN，
证明：在CB截取BE=AM，连接DE，
∵∠CDA+∠ACD=90°，∠MDN+∠ACD=90°，
∴∠MDN=∠ADC，
∵∠ADN=∠ADN，
∴∠MDA=∠CDN，
∵∠B=∠CAD=90°，
∴∠B=∠DAM=90°，
在△DAM和△DBE中
，
∴△DAM≌△DBE，
∴∠BDE=∠ADM=∠CDN，DM=DE，
∵∠ADC=∠BDC=∠MDN，
∴∠MDN=∠EDN，
在△MDN和△EDN中
，
∴△MDN≌△EDN，
∴MN=NE，
∵NE=BN-BE=BN-AM，
∴BN-AM=MN．
分析：（1）延长CB到E，使BE=AM，证△DAM≌△DBE，推出∠BDE=∠MDA，DM=DE，证△MDN≌△EDN，推出MN=NE即可；
（2）延长CB到E，使BE=AM，证△DAM≌△DBE，推出∠BDE=∠MDA，DM=DE，证△MDN≌△EDN，推出MN=NE即可；
（3）在CB截取BE=AM，连接DE，证△DAM≌△DBE，推出∠BDE=∠MDA，DM=DE，证△MDN≌△EDN，推出MN=NE即可．
点评：本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，主要考查学生运用性质进行推理的能力，运用了类比推理的方法，题目比较典型，但有一定的难度．