Question

如图，已知抛物线与轴交于点，，与y轴交于点．

（1）求抛物线的解析式及其顶点D的坐标；
（2）设直线CD交轴于点E．在线段OB的垂直平分线上是否存在点P，使得点P到直线CD的距离等于点P到原点O的距离？如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由

Answer 1

（1）(1,9)
（2）点P坐标为 （2，）解析:
解：（1）设该抛物线的解析式为，
由抛物线与y轴交于点C（0，8）,可知c="8."
即抛物线的解析式为．               …………………1分
把，，代入, 得
解得.
∴ 抛物线的解析式为   ……………………………………………3分
∴ 顶点D的坐标为(1,9).       ……………………………………………………2分
（2）设OB的垂直平分线交x轴于点H，直线CD交线段OB的垂直平分线于点F，
直线CD的解析式为
∴ ,,即直线CD的解析式为
∴ 点E坐标为 （-8，0）, 点F坐标为 （2，10）,EH=FH=10，EF=10…2分
假设线段OB的垂直平分线上存在点P，那么令点P坐标为 （2，m），
过点P作PQ⊥CD交CD于点Q，则有OP=PQ=，PF= ……2分
由题意知，Rt△FPQ∽Rt△FEH．     
∴．∴
解得               ……………………………………………1分
∴ 点P坐标为 （2，）， ……………………………………………1分