Question

如图，有一个圆O和两个正六边形T₁，T₂．T₁的6个顶点都在圆周上，T₂的6条边都和圆O相切（我们称T₁，T₂分别为圆O的内接正六边形和外切正六边形）．若设T₁，T₂的边长分别为a，b，圆O的半径为r，则r：a=

 

；r：b=

 

；正六边形T₁，T₂的面积比S₁：S₂的值是

 

．

Answer 1

分析：根据题意画出图形，连接OE、OG，OF，由正六边形T₁，得到∠EOF为60°，从而得到△EOF为等边三角形，即a=r，故得到a：r=1：1；在Rt△EOG中，由OG为角平分线，得到∠EOG=30°，利用特殊角的三角函数可求出OE及OG的长，即为r：b的比值，然后求出a：b的比值，根据正六边形T₁，T₂相似，其面积之比等于边长之比的平方，即可求出面积之比．

解答：解：连接OE、OG，OF，
∵EF=a，且正六边形T₁，
∴△OEF为等边三角形，OE为圆的半径r，
∴a：r=1：1；
由题意可知OG为∠FOE的平分线，即∠EOG=

1

2

∠EOF=30°，
在Rt△OEG中，OE=r，OG=b，
∵

OE

OG

=

r

b 2

=cos∠EOG=cos30°，即

r

b

=

3

2

，
∵r：a=1：1①；r：b=

3

：2②；
∴②：①得，a：b=

3

：2，且两个正六边形T₁，T₂相似，
∴S₁：S₂=a²：b²=3：4．
故答案为：r：a=1：1；r：b=

3

：2；S₁：S₂=3：4．

点评：本题考查的是正多边形和圆及特殊角的三角函数值，解答此题的关键是根据题意画出图形，再由三角函数的定义及特殊角的三角函数值求解．