题目内容
【题目】如图,□ABCD中,BD是它的一条对角线,过A、C两点作AE⊥BD,CF⊥BD,垂足分别为E、F,延长AE、CF分别交CD、AB于M、N。
(1)求证:四边形CMAN是平行四边形。
(2)已知DE=4,FN=3,求BN的长。
【答案】(1)详见解析;(2)5.
【解析】
试题分析:(1)通过AE⊥BD,CF⊥BD证明AE∥CF,再由四边形ABCD是平行四边形得到AB∥CD,由两组对边分别平行的四边形是平行四边形可证得四边形CMAN是平行四边形;(2)证明△MDE≌∠NBF,根据全等三角形的性质可得DE=BF=4,再由勾股定理得BN=5.
试题解析:(1)证明:∵AE⊥BD CF⊥BD
∴AE∥CF
又∵四边形ABCD是平行四边形
∴AB∥CD
∴四边形CMAN是平行四边形
(2)由(1)知四边形CMAN是平行四边形
∴CM=AN.
又∵四边形ABCD是平行四边形
∴ AB=CD,∠MDE=∠NBF.
∴AB-AN=CD-CM,即DM=BN.
在△MDE和∠NBF中
∠MDE=∠NBF,∠DEM=∠BFN=90°,DM=BN
∴△MDE≌∠NBF
∴DE=BF=4,
由勾股定理得BN===5.
答:BN的长为5.