题目内容

在图（1）中画出三条线段，长度分别为： $数学公式$ ．
（1）在图（2）中把△ABC绕着点A顺时针旋转270°，变成△AB₁C₁，求：①B，B₁两点之间的距离；②B到B₁所经过的路程．
（2）图（3）是由五个边长为1的正方形组成的，请剪两刀再拼成正方形，画出分割线，及拼成正方形．

解：（1）如图，

（2）①如图，BB₁= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
②AB= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
∴BB₁经过的路线长= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ；

（3）如图，拼成的正方形为：

分析：（1）根据勾股定理， $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，画出即可；
（2）①根据勾股定理，可求得BB₁的长；②B到B₁所经过的路程为以AB的长为半径的圆周长的 $\text{[math]}$ ；
（3）根据5个小正方形的面积的和等于拼成的正方形的面积，根据勾股定理确定截线的长度，即可确定分法；
点评：本题主要考查了旋转的性质，弧长的计算和剪纸知识，考查了学生对于知识的综合运用能力．

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19、如图①，O₁O₂O₃，为三个等圆的圆心，A，B，C为切点；
如图②，O₁O₂O₃O₄为四个等圆的圆心，A，B，C，D为切点；
如图③，O₁O₂O₃O₄O₅为五个等圆的圆心，A，B，C，D，E为切点．
请你在每个图案中画出一条直线，分别将这三个圆、四个圆、五个圆分成面积相等的两部分，并说明这条直线经过的两个点（其中图①、图②必须用图中已有的两个点，图③可以用画图得到的点）．

图①：经过

两点的直线；图②：经过

两点的直线；图③：经过

O₁0₃与O₂O₄的交点与O₅

两点的直线．

在图（1）中画出三条线段，长度分别为：

．
（1）在图（2）中把△ABC绕着点A顺时针旋转270°，变成△AB₁C₁，求：①B，B₁两点之间的距离；②B到B₁所经过的路程．
（2）图（3）是由五个边长为1的正方形组成的，请剪两刀再拼成正方形，画出分割线，及拼成正方形．

（1）完成下面的证明：
已知：如图1，AB∥CD∥GH，EG平分∠BEF，FG平分∠EFD．
求证：∠EGF=90°．
证明：∵HG∥AB，（已知）
∴∠1=∠3．（

两直线平行，内错角相等

两直线平行，内错角相等

）
又∵HG∥CD，（已知）
∴∠2=∠4．（

两直线平行，内错角相等

两直线平行，内错角相等

）
∵AB∥CD，（已知）
∴∠BEF+

两直线平行，同旁内角互补

两直线平行，同旁内角互补

）
又∵EG平分∠BEF，（已知）
∴∠1=

角平分线定义

角平分线定义

）
又∵FG平分∠EFD，（已知）
∴∠2=

角平分线定义

角平分线定义

）
∴∠1+∠2=

）．
∴∠1+∠2=90°．
∴∠3+∠4=90°．（

）．即∠EGF=90°．
（2）如图2，已知∠ACB=90°，那么∠A的余角是哪个角呢？答：

；
小明用三角尺在这个三角形中画了一条高CD（点D是垂足），得到图3，
①请你帮小明在图中画出这条高；
②在图中，小明通过仔细观察、认真思考，找出了三对余角，你能帮小明把它们写出来吗？答：a

∠ACD与∠BCD

∠ACD与∠BCD

．
③∠ACB，∠ADC，∠CDB都是直角，所以∠ACB=∠ADC=∠CDB，小明还发现了另外两对相等的角，请你也仔细地观察、认真地思考分析，试一试，能发现吗？把它们写出来，并请说明理由．
（3）在直角坐标系中，第一次将△OAB变换成OA₁B₁，第二次将△OA₁B₁变换成△OA₂B₂，第三次将△OA₂B₂变换成△OA₃B₃，已知A（1，3），A₁（2，3），A₂（4，3），A₃（8，3），B（2，0），B₁（4，0），B₂（8，0），B₃（16，0）．
①观察每次变换前后的三角形有何变化，找出规律，按此规律再将△OA₃B₃变换成△OA₄B₄，则A₄的坐标为

，B₄的坐标为

．
②按以上规律将△OAB进行n次变换得到△A_nB_n，则可知A_n的坐标为

，B_n的坐标为

（2ⁿ⁺¹，0）

（2ⁿ⁺¹，0）

．
③可发现变换的过程中A、A₁、A₂、…、A_n纵坐标均为

已知抛物线

经过A（－1，0）、B（3，0）、C（0，3）三点。

（1）求抛物线的解析式和顶点M的坐标，并在给定的直角坐标系中画出这条抛物线的大致图象。

（2）若点（，）在抛物线上，且0≤≤4，试写出的取值范围。

（3）设平行于轴的直线＝交线段BM于点P（点P能与点M重合，不能与点B重合）交轴于点Q，四边形AQPC的面积为。

①求关于的函数关系式以及自变量的取值范围；

②求取得最大值时，点P的坐标；

③设四边形OBMC的面积为，判断是否存在点P，使得＝，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由。