题目内容

如图所示，在正方形上连接等腰直角三角形和正方形，无限重复同一过程，第一个正方形的边长为1，第一个正方形与第一个等腰直角三角形的面积和为S₁，第二个正方形与第二个等腰直角三角形的面积和为S₂，…，第n个正方形与第n个等腰直角三角形的面积和为S_n．
（1）计算S₁、S₂、S₃、S₄．
（2）总结出S_n与S_n-1的关系，并猜想出S₁+S₂+S₃+S₄+…+S_n与n的关系．

解：下一个正方形面积为上一个正方形面积的 $\text{[math]}$ ，下一个等腰直角三角形面积为上一个等腰直角三角形面积的 $\text{[math]}$ ，
（1）S₁=1×1+ $\text{[math]}$ × $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
∴S₂= $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
S₃= $\text{[math]}$ ，
S₄= $\text{[math]}$ ．

（2）根据（1）的求解，总结规律：S_n= $\text{[math]}$ S_n-1，
计算得S₁+S₂= $\text{[math]}$ ，
S₁+S₂+S₃= $\text{[math]}$ ，
S₁+S₂+S₃+S₄= $\text{[math]}$ ，
猜测S₁+S₂+S₃+S₄+…+S_n= $\text{[math]}$ ．
分析：根据正方形边长相等和等腰三角形中腰长为斜边长的 $\text{[math]}$ 求解，根据题目给出的信息，我们可以发现等腰三角形和正方形的面积和成一个等比数列，即S_n= $\text{[math]}$ s_n-1．
点评：本题考查了正方形面积的计算，考查了已知斜边等腰直角三角形面积的计算，本题中，发现新的一组正方形等腰直角三角形面积和与上一组正方形等腰直角三角形面积和的关系是解题的关键．