题目内容
【题目】如图1,点P为∠MON的平分线上一点,以P为顶点的角的两边分别与射线OM,ON交于A,B两点,如果∠APB绕点P旋转时始终满足,我们就把∠APB叫做∠MON的智慧角.
(1)如图2,已知∠MON=90°,点P为∠MON的平分线上一点,以点P为顶点的角的两边分别与射线OM,ON交于A,B两点,且∠APB=135°. 求证:∠APB是∠MON的智慧角;
(2)如图3,C是函数图象上的一个动点,过点C的直线CD分别交轴和轴于点A,B两点,且满足BC=2CA,请求出∠AOB的智慧角∠APB的顶点P的坐标.
【答案】(1)证明见解析;(2)或
【解析】试题分析:(1)由角平分线求出∠AOP=∠BOP=,∠MON=45°,再证出∠OAP=∠OPB,得出对应边成比例,得出OP2=OAOB,即可得出结论;
(2)设点C(a,b),则ab=3,过点C作CH⊥OA于H;分两种情况:
①当点B在y轴正半轴上时;当点A在x轴的负半轴上时,BC=2CA不可能;当得A在x轴的正半轴上时;先求出,由平行线得出△ACH∽△ABO,得出比例式:
,得出OB=3b,OA=a,求出OAOB=,根据∠APB是∠AOB的智慧角,得出OP,即可得出点P的坐标;
②当点B在y轴的负半轴上时;由题意得出:AB=CA,由AAS证明△ACH≌△ABO,得出OB=CH=b,OA=AH=a,得出OAOB=,求出OP,即可得出点P的坐标.
解:(1)证明:∵∠MON=90°,P为∠MON的平分线上一点,
∴∠AOP=∠BOP=∠MON=45°,
∵∠AOP+∠OAP+∠APO=180°,
∴∠OAP+∠APO=135°,
∵∠APB=135°,
∴∠APO+∠OPB=135°,
∴∠OAP=∠OPB,
∴△AOP∽△POB,
∴,
∴OP2=OAOB,
∴∠APB是∠MON的智慧角;
(2)设点C(a,b),则ab=3,
过点C作CH⊥OA于H;分两种情况:
①当点B在y轴正半轴上时;点A在x轴的负半轴上时,如图2:
BC=2CA不可能;
当点A在x轴的正半轴上时,如图3:
∵BC=2CA,
∴,
∵CH∥OB,
∴△ACH∽△ABO,
∴,
∴OB=3b,OA=a,
∴OAOB=a3b=ab=,
∵∠APB是∠AOB的智慧角,
∴OP=,
∵∠AOB=90°,OP平分∠AOB,
∴点P到x,y轴的距离相等为
∴点P的坐标为:;
②当点B在y轴的负半轴上时,如图4,
∵BC=2CA,
∴AB=CA,
∵∠AHC=∠AOB=90°,
又∵∠BAO=∠CAH,
∴△ACH≌△ABO(AAS),
∴OB=CH=b,OA=AH=a,
∴OAOB=ab=,
∵∠APB是∠AOB的智慧角,
∴OP=
∵∠AOB=90°,OP平分∠AOB,
∴点P到x,y轴的距离相等为,
∴点P的坐标为:;
综上所述:点P的坐标为:或 .