题目内容

【题目】如图1,点P为∠MON的平分线上一点,以P为顶点的角的两边分别与射线OMON交于AB两点,如果∠APB绕点P旋转时始终满足,我们就把∠APB叫做∠MON的智慧角.

(1)如图2,已知∠MON=90°,点P为∠MON的平分线上一点,以点P为顶点的角的两边分别与射线OMON交于AB两点,且∠APB=135°. 求证:∠APB是∠MON的智慧角;

(2)如图3,C是函数图象上的一个动点,过点C的直线CD分别交轴和轴于点AB两点,且满足BC=2CA,请求出∠AOB的智慧角∠APB的顶点P的坐标.

【答案】(1)证明见解析;(2)

【解析】试题分析:(1)由角平分线求出∠AOP=BOP=MON=45°,再证出∠OAP=OPB,得出对应边成比例,得出OP2=OAOB,即可得出结论;

(2)设点Cab),则ab=3,过点CCHOAH;分两种情况:

①当点By轴正半轴上时;当点Ax轴的负半轴上时,BC=2CA不可能;当得Ax轴的正半轴上时;先求出,由平行线得出ACH∽△ABO,得出比例式:

,得出OB=3bOA=a,求出OAOB=,根据∠APB是∠AOB的智慧角,得出OP,即可得出点P的坐标;
②当点By轴的负半轴上时;由题意得出:AB=CA,由AAS证明ACH≌△ABO,得出OB=CH=bOA=AH=a,得出OAOB=,求出OP,即可得出点P的坐标.

解:(1)证明:∵∠MON=90°,P为∠MON的平分线上一点,

∴∠AOP=BOP=MON=45°,

∵∠AOP+OAP+APO=180°,

∴∠OAP+APO=135°,

∵∠APB=135°,

∴∠APO+OPB=135°,

∴∠OAP=OPB

AOPPOB

OP2=OAOB

∴∠APB是∠MON的智慧角;

(2)设点C(a,b),则ab=3,

过点CCHOAH;分两种情况:

①当点By轴正半轴上时;点Ax轴的负半轴上时,如图2:

BC=2CA不可能;

当点Ax轴的正半轴上时,如图3:

BC=2CA

CHOB

ACHABO

,

OB=3b,OA=a

OAOB=a3b=ab=

∵∠APB是∠AOB的智慧角,

OP=

∵∠AOB=90°,OP平分∠AOB

∴点Px,y轴的距离相等为

∴点P的坐标为:

②当点By轴的负半轴上时,如图4,

BC=2CA

AB=CA

∵∠AHC=AOB=90°,

又∵∠BAO=CAH,

ACHABO(AAS),

OB=CH=b,OA=AH=a

OAOB=ab=

∵∠APB是∠AOB的智慧角,

OP=

∵∠AOB=90°,OP平分∠AOB

∴点Px,y轴的距离相等为

∴点P的坐标为:

综上所述:点P的坐标为: .

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