Question

如图，亮亮在不打滑的平面轨道上滚动一个半径为10cm的圆盘，其中AB=80cm，BC与水平面的夹角为60°．当圆盘从A点滚到与BC开始相切时停止，设圆盘切BC于点E，切AB于点D．
（1）当圆盘在AB上滚动一圈时，求其圆心所经过的路线长度？（精确到0.1cm）
（2）当圆盘从A点滚到与BC开始相切时，求其圆心O所经过的路线长是多少？（精确到0.1cm）
（3）设斜坡的顶端为点C点，当坡高CF为30cm时，求切点E到顶端C的距离．（精确到0.1cm）

Answer 1

分析：（1）当圆盘在AB上滚动一圈时，其圆心所经过的路线长为圆的周长，所以由圆的半径求出圆的周长即可；
（2）当圆盘从A点滚到与BC开始相切时，连接OD和OB，根据切线性质得到三角形OBD为直角三角形且角OBD为60°，设BD=x，根据勾股定理即可列出关于x的方程，求出x的值得到BD的长，用AB-BD即可求出AD的长即为其圆心O所经过的路线长是AD的长度；
（3）在直角三角形CBF中，由CF的长和角CBF的度数，利用三角函数，即可求出BC的长，根据（2）中求出的BD长得到EB的长，利用BC-BE即可求出EC的长．

解答：解：（1）由圆的半径10cm，得到圆的周长C=2πr=20π≈62.8cm，
所以当圆盘在AB上滚动一圈时，求其圆心所经过的路线长度是62.8cm；

（2）连接OD和OB，根据切线性质得到∠ODB=90°，∠DOB=30°，
设BD=xcm，则OB=2xcm，根据勾股定理得：DB²+OD²=OB²，
即x²=

100

3

，
解得x=

10 3

3

，
即BD=

10 3

3

cm，
所以当圆盘从A点滚到与BC开始相切时，其圆心O所经过的路线长是AD=AB-BD=80-

10 3

3

≈74.2cm；

（3）由切线性质得：BD=BE=

10 3

3

cm，
在直角△BCF中，∠CBF=60°，CF=30cm，
则BC=

CF

sin60°

=20

3

cm，
所以切点E到顶端C的距离为20

3

-

10 3

3

=28.9cm．

点评：此题考查学生掌握圆切线的性质即圆外一点作圆的两条切线，切线长相等且圆心与这点的连线平分两切线的夹角，灵活运用勾股定理及三角函数的定义化简求值，考查学生将实际问题转化为数学问题的能力，培养学生识别图形的能力，让学生了解数学来自于生活，又服务于生活的理念．