Question

如图所示，抛物线y=-(x-

3

m)2（m＞0）的顶点为A，直线l：y=

3

3

x-m与y轴交点为B．
（1）写出抛物线的对称轴及顶点A的坐标（用含m的代数式表示）；
（2）证明点A在直线l上，并求∠OAB的度数；
（3）动点Q在抛物线对称轴上，问抛物线上是否存在点P，使以点P、Q、A为顶点的三角形与△OAB全等？若存在，求出m的值，并写出所有符合上述条件的P点坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）（2）根据抛物线的解析式可得出抛物线的对称轴和A点坐标，然后将A点坐标代入直线的解析式中进行验证即可得出A点是否在直线y=

3

3

x-m上的．
求∠OAB的度数，可通过求∠OAB的正切值来得出，根据直线AB的解析式可得出B点坐标，即可得出OB的长，OA的长已求出，因此可在三角形OAB中得出∠OAB的正切值．即可得出∠OAB的度数．
（3）本题可分成四种情况：
一：∠AQP=∠AOB=90°：
①AO=PQ，OB=AQ，此时P、B重合，即可求出P点坐标（根据抛物线的对称性可知：P点关于抛物线对称轴的对称点也符合要求）．
②AO=AQ，PQ=OB，此时P点纵坐标的绝对值与A点横坐标相等，可将其代入抛物线的解析式中，可得出两个符合条件的P点坐标．
二：∠APQ=∠AOB=90°：
①AO=PA，OB=PQ，可过P作抛物线对称轴的垂线，通过∠PAQ的度数和AP即OA的长求出P点纵坐标，然后代入抛物线的解析式中即可得出两个符合条件的P点坐标．
②AO=PQ，PA=OB，同①
因此本题共有8个符合条件的P点坐标．

解答：解：（1）对称轴：x=

3

m；
顶点：A（

3

m，0）．

（2）将x=

3

m代入函数y=

3

3

x-m，
得y=

3

3

×

3

m-m=0
∴点A（

3

m，0）在直线l上．
当x=0时，y=-m，
∴B（0，-m）
tan∠OAB=

m

3 m

=

3

3

，
∴∠OAB=30度．

（3）以点P、Q、A为顶点的三角形与△OAB全等共有以下四种情况：
①当∠AQP=90°，PQ=

3

m，AQ=m时，
如图1，此时点P在y轴上，与点B重合，其坐标为（0，-m），
代入抛物线y=-（x-

3

m）²
得-m=-3m²，
∵m＞0，
∴m=

1

3

这时有P₁（0，-

1

3

）
其关于对称轴的对称点P₂（

2 3

3

，-

1

3

）也满足条件．

②当∠AQP=90°，PQ=m，AQ=

3

m时
点P坐标为（

3

m-m，-

3

m），
代入抛物线y=-（x-

3

m）²
得

3

m=m²，
∵m＞0，
∴m=

3

这时有P₃（3-

3

，-3）
还有关于对称轴的对称点P₄（3+

3

，-3）．

③当∠APQ=90°，AP=

3

m，PQ=m时
点P坐标为（

3

2

m，-

3

2

m），代入抛物线y=-（x-

3

m）²
得

3

2

m=

3

4

m²，
∵m＞0，
∴m=2
这时有P₅（

3

，-3）
还有关于对称轴的对称点P₆（3

3

，-3）．

④当∠APQ=90°，AP=m，PQ=

3

m时
点P坐标为（

3

2

m，-

1

2

m），
代入抛物线y=-（x-

3

m）²
得

1

2

m=

3

4

m²，
∵m＞0，
∴m=

2

3

这时有P₇（

3

3

，-

1

3

）
还有关于对称轴对称的点P₈（

3

，-

1

3

）．
所以当m=

1

3

时，有点P₁（0，-

1

3

），P₂（

2 3

3

，-

1

3

）；
当m=

3

时，有点P₃（3-

3

，-3），P₄（3+

3

，-3）；
当m=2时，有点P₅（

3

，-3），P₆（3

3

，-3）；
当m=

2

3

时，有点P₇（

3

3

，-

1

3

），P₈（

3

，-

1

3

）．

点评：本题主要考查了二次函数的相关知识以及全等三角形的判定，要注意（3）小题中，要分类讨论，将所有的情况都考虑到，以免漏解．