题目内容
(2013•大庆)如图所示,AB是半圆O的直径,AB=8,以AB为一直角边的直角三角形ABC中,∠CAB=30°,AC与半圆交于点D,过点D作BC的垂线DE,垂足为E.
(1)求DE的长;
(2)过点C作AB的平行线l,l与BD的延长线交于点F,求
的值.
(1)求DE的长;
(2)过点C作AB的平行线l,l与BD的延长线交于点F,求
FD | DB |
分析:(1)先由圆周角定理得出∠ADB=90°,再解Rt△ABD,得出BD=4,然后解Rt△BDE,即可求出DE的长;
(2)先由DE⊥BC,AB⊥BC,得出DE∥AB,根据平行线分线段成比例定理得出
=
,则DA=3CD,再证明△FCD∽△BAD,根据相似三角形对应边成比例即可求出
的值.
(2)先由DE⊥BC,AB⊥BC,得出DE∥AB,根据平行线分线段成比例定理得出
CD |
CA |
1 |
4 |
FD |
DB |
解答:解:(1)∵AB是半圆O的直径,
∴∠ADB=90°.
在Rt△ABD中,∠ADB=90°,∠DAB=30°,AB=8,
∴BD=
AB=4.
在Rt△BDE中,∠DEB=90°,∠DBE=30°,BD=4,
∴DE=
BD=2;
(2)∵DE⊥BC,AB⊥BC,
∴DE∥AB,
∴
=
=
=
,
∴CA=4CD,
∴DA=3CD.
∵CF∥AB,
∴∠FCD=∠BAD,∠DFC=∠DBA,
∴△FCD∽△BAD,
∴
=
=
=
.
∴∠ADB=90°.
在Rt△ABD中,∠ADB=90°,∠DAB=30°,AB=8,
∴BD=
1 |
2 |
在Rt△BDE中,∠DEB=90°,∠DBE=30°,BD=4,
∴DE=
1 |
2 |
(2)∵DE⊥BC,AB⊥BC,
∴DE∥AB,
∴
CD |
CA |
DE |
AB |
2 |
8 |
1 |
4 |
∴CA=4CD,
∴DA=3CD.
∵CF∥AB,
∴∠FCD=∠BAD,∠DFC=∠DBA,
∴△FCD∽△BAD,
∴
FD |
DB |
CD |
DA |
CD |
3CD |
1 |
3 |
点评:本题考查了圆周角定理,解直角三角形,相似三角形的判定与性质,难度适中,求出DE的长,进而得到DA=3CD是解题的关键.
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