Question

把一张矩形纸片（矩形ABCD）按如图方式折叠，使顶点B和点D重合，折痕为EF．若AB=3cm，BC=5cm，则DF=________cm，重叠部分△DEF的面积是________cm²．

Answer 1

3.4    5.1
分析：根据折叠的性质知：AE=A′E，AB=A′D；可设AE为x，用x表示出A′E和DE的长，进而在Rt△A′DE中求出x的值，即可得到A′E的长；再根据△EA′D≌△FCD，可以得出DF=DE，继而求出DF的长；并且可求出△A′ED和梯形A′EFD的面积，两者的面积差即为所求的△DEF的面积．
解答：设AE=A′E=x，则DE=5-x；
在Rt△A′ED中，A′E=x，A′D=AB=3cm，ED=AD-AE=5-x；
由勾股定理得：x²+9=（5-x）²，
解得x=1.6，
即AE=A′E=AE=1.6cm，ED=3.4cm；
∵∠A′DF=∠EDC=90°，
∴∠A′DE=∠CDF，
又A′D=CD，∠EA′D=∠FCD，
∴△EA′D≌△FCD，
∴A′E=CF，故BF=ED=3.4cm；
∴S_△DEF=S_{梯形A′DFE}-S_△A′DE=（A′E+DF）•DF-A′E•A′D，
=×（5-x+x）×3-×x×3，
=×5×3-×1.6×3，
=5.1（cm²）．
故答案为：3.4，5.1．
点评：此题考查了图形的折叠变换，能够根据折叠的性质和勾股定理求出AE、A′E的长是解答此题的关键．