题目内容
【题目】如图，二次函数
的图象与
轴交于
，
，与
轴交于点
．若点
，
同时从
点出发，都以每秒
个单位长度的速度分别沿
，
边运动，其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动．
（1）直接写出二次函数的解析式；
（2）当，运动到
秒时，将△APQ沿
翻折，若点恰好落在抛物线上
点处，求出点坐标；
（3）当点运动到
点时，点停止运动，这时，在轴上是否存在点
，使得以，，为顶点的三角形为等腰三角形?若存在，请直接写出 点坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）
；（2）
；（3） 存在满足条件的点 
，点 的坐标为 
或 
或 
或 
．
【解析】
（1）将A，B点坐标代入函数
中，求得b、c，进而即可求得解析式；
（2）根据题意，D点关于PQ与A点对称，过点Q作
于F，先证明四边形
是菱形，再结合三角形相似以及设
进行求解即可得解；
（3）等腰三角形有三种情况，AE=EQ，AQ=EQ，AE=AQ，借助垂直平分线，画圆易得E大致位置，设边长为x，表示其他边后利用勾股定理易得E坐标．
（1）将
，
代入，求得
，
∴
；
（2）如图，D点关于PQ与A点对称，过点Q作于
∵
，
，
∴
∴四边形为菱形
∵
∴
∴
∴
，
∴
∵
∴
∵D在二次函数上
∴
∴
，或
（舍去）
∴
；
（3）存在满足条件的点E，点E的坐标为
或
或
或
如上图，过点Q作
于D，此时
∵
，
，
，
∴
，
，
∴
，
∵
∴
∴
∴
，
；
①如下图，作AQ的垂直平分线，交AQ于E
此时
，即
为等腰三角形
设
，则
，
∴在
中，
，解得
∴
∴
；
②如下图，以Q为圆心，AQ长半径画圆，交x轴于E
此时
∵
∴
∴
∴
；
③当
时
1）当E在A点左边时
∵
∴
2）当E在A点右边时
∵
∴
；
综上所述，存在满足条件的点E，点E的坐标为或或或．
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