Question

边长为整数的等腰三角形一腰上的中线将其周长分为1：2的两部分，那么所有这些等腰三角形中，面积最小的三角形的面积是

 

．

Answer 1

分析：设这个等腰三角形的腰为x，底为y，分为的两部分边长分别为n和2n，再根据题意列出关于x、n、y的方程组，用n表示出x、y的值，由三角形的三边关系舍去不符合条件的x、y的值，由n是正整数求出△ABC面积的最小值即可．

解答：解：设这个等腰三角形的腰为x，底为y，分为的两部分边长分别为n和2n，得

x+ x 2 =n x 2 +y=2n

或

x+ x 2 =2n x 2 +y=n

，解得

x= 2n 3 y= 5n 3

或

x= 4n 3 y= n 3

∵2×

2n

3

＜

5n

3

（此时不能构成三角形，舍去）
∴取

x= 4n 3 y= n 3

其中n是3的倍数
∴三角形的面积S_△=

1

2

×

n

3

×

( 4n 3 )2-( n 6 )2

=

63

36

n²，对于S_△=

63

36

n²=

7

12

n²，
当n≥0时，S_△随着n的增大而增大，故当n=3时，S_△=

3 7

4

取最小．
故答案为：

3 7

4

．

点评：本题考查的是三角形的面积及三角形的三边关系，根据题意列出关于x、n、y的方程组是解答此题的关键．