Question

3．台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心，在周围数十千米范围内形成气候风暴，有极强的破坏力．沿海某城市A的正南方向240km的B处有一台风中心，其中心风力最大为十二级，每远离台风中心20千米，风力就减弱一级，该台风中心现在正以15km/h的速度沿北偏东30°的方向往C移动，且台风中心风力不变．若城市所受的风力达到或超过四级，则称为受台风的影响．
（1）城市A是否受台风影响？请说明理由；
（2）如果城市A受台风影响，则影响时间有多长？
（3）该城市受到台风影响的最大风力为几级？

Answer 1

分析 （1）求是否会受到台风的影响，其实就是求A到BC的距离是否大于台风影响范围的半径，如果大于，则不受影响，反之则受影响．如果过A作AD⊥BC于D，AD就是所求的线段．直角三角形ABD中，有∠ABD的度数，有AB的长，AD就不难求出了．
（2）受台风影响时，台风中心移动的距离，应该是A为圆心，台风影响范围的半径为半径，所得圆截得的BC上的线段的长即EF得长，可通过在直角三角形AED和AFD中，根据勾股定理求得．有了路程，有了速度，时间就可以求出了．
（3）风力最大时，台风中心应该位于D点，然后根据题目给出的条件判断出是几级风．

解答 解：（1）该城市会受到这次台风的影响．
理由是：如图，过A作AD⊥BC于D．
在Rt△ABD中，∵∠ABD=30°，AB=240，
∴AD=$\frac{1}{2}$AB=120，
∵城市受到的风力达到或超过四级，则称受台风影响，
∴受台风影响范围的半径为20×（12-4）=160．
∵120＜160，
∴该城市会受到这次台风的影响．

（2）如图以A为圆心，160为半径作⊙A交BC于E、F，则AE=AF=160．
∴台风影响该市持续的路程为：EF=2DE=2$\sqrt{A{E}^{2}-A{D}^{2}}$=80$\sqrt{7}$（千米）．
∴台风影响该市的持续时间t=80$\sqrt{7}$÷15=$\frac{16\sqrt{7}}{3}$（小时）．

（3）∵AD距台风中心最近，
∴该城市受到这次台风最大风力为：12-（120÷20）=6（级）．

点评 本题考查了解直角三角形的应用-方向角问题，勾股定理的应用，解题的关键是从实际问题中抽象出直角三角形，难度中等．