Question

【题目】如图，在中，，，，点为边上一点，且．点从点出发．沿射线以每秒1个单位长度的速度运动．以、为邻边作．设和重叠部分图形的面积为（平方单位），点的运动时间为（秒）．

（1）连结，求的长．

（2）当为菱形时，求的值．

（3）求与之间的函数关系式．

（4）将线段沿直线翻折得到线段．当点落在的边上时，直接写出的值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）；（4）或．

【解析】

（1）如图（见解析），先根据勾股定理求出AB的长，再根据平行线的判定得出，然后根据相似三角形的判定与性质可得，从而可得，，最后在中利用勾股定理即可得；

（2）如图（见解析），先根据菱形的性质得出，，再根据相似三角形的判定与性质可得，求解即可得；

（3）先根据平行四边形的性质，再找出两个临界位置：当点P运动至点F时和当点P运动至点A时，然后分别根据平行四边形、直角梯形的面积公式即可得；

（4）分①点落在AB边上和②点落在BC边上两种情况，①先利用折叠的性质、等腰三角形的性质得出，再根据直角三角形全等的判定定理与性质得出，然后根据平行四边形的性质、平行线的性质、等量代换得出，从而可得，最后根据菱形的判定可得平行四边形CPDE是菱形，由（2）的结论即可得；②先根据折叠的性质得出平分，再根据角平分线的性质可得，然后根据（1）得出，从而可得，最后根据的面积公式列出等式求解即可．

（1）如图1，过点作于点

在中，

，

在中，

；

（2）如图2，当平行四边形为菱形时

由菱形的性质得：，

又

或（不符题意，舍去）

故的值为；

（3）四边形CPDE是平行四边形

，即

由题意，有两个临界位置，即当点P运动至点F时，所需时间为（秒）；当点P运动至点A时，所需时间为（秒）

因此，分以下三种情况：

①如图3-1，当时

②如图3-2，当时，此时四边形CPDG为直角梯形，

③如图3-3，当时，此时四边形CADG为直角梯形

综上，与之间的函数关系式为；

（4）由题意，分以下两种情况：

①如图4-1，点落在AB边上

延长CE交AB于点H

由折叠的性质可知，，平分

（等腰三角形的三线合一）

，即

解得

在和中，

四边形CPDE是平行四边形

平行四边形CPDE是菱形

由（2）可知，此时

②如图4-2，点落在BC边上

过点E作于点N，延长DE交BC于点M，则

由折叠的性质可知，平分，则

由（1）可知，

解得

综上，所求的t的值为或．