Question

设直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c．若a，b，c均为整数，且c=

1

3

ab-（a+b），求满足条件的直角三角形的个数．

Answer 1

分析：先根据此三角形是直角三角形，利用勾股定理把原式化为（a-6）（b-6）=18，再根据a，b均为正整数，不妨设a＜b，可得出关于a、b的二元一次方程，求出a、b、c的对应值即可．

解答：解：由勾股定理得，c²=a²+b²．
又∵c=

1

3

ab-（a+b），得c2=[

1

3

ab-(a+b)]2=

1

9

(ab)2-

2

3

ab(a+b)+(a+b)2．
即a2+b2=

1

9

(ab)2-

2

3

ab(a+b)+a2+2ab+b2．
整理得，ab-6（a+b）+18=0，即（a-6）（b-6）=18，
∵a，b均为正整数，不妨设a＜b，
可得

a-6=1  b-6=18

或

a-6=2  b-6=9

或

a-6=3  b-6=6

，
可解出

a=7  b=24  c=25

或

a=8  b=15  c=17

或

a=9  b=12  c=15 .

，
∴满足条件的直角三角形有3个．
故答案为：3．

点评：本题考查的是非一次不定方程及勾股定理，解答此题的关键是先利用勾股定理把原式化为两个因式积的形式，再根据a，b均为正整数进行解答．