Question

试探究以下问题：平面上有n（n≥3）个点，任意三个点不在同一直线上，过任意三点作三角形，一共能作出多少不同的三角形？
（1）分析：当仅有3个点时，可作

 

个三角形；当有4个点时，可作

 

个三角形；当有5个点时，可作

 

个三角形；…
（2）归纳：考察点的个数n和可作出的三角形的个数S_n．

Answer 1

分析：顺次连接不在同一直线上的三个点可作1个三角形；当有4个点时，可作4个三角形；当有5个点时，可作10个三角形；依此类推当有n个点时，可作

n(n-1)(n-2)

6

个三角形．

解答：解：（1）1，4，10；
（2）当n=3时，可作出的三角形的个数S₃=

3×2×1

6

；
当n=4时，可作出的三角形的个数S₄=

4×3×2

6

；
当n=5时，可作出的三角形的个数S₅=

5×4×3

6

；
当点的个数是n时，可作出的三角形的个数S_n=

n(n-1)(n-2)

6

．
∴Sn=

n(n-1)(n-2)

6

．

点评：此题考查了规律总结，运用由特殊到一般的方法，进行归纳总结．