Question

【题目】已知BD垂直平分AC，∠BCD=∠ADF，AF⊥AC，
（1）证明四边形ABDF是平行四边形；
（2）若AF=DF=5，AD=6，求AC的长．

Answer 1

【答案】
（1）证明：∵BD垂直平分AC，

∴AB=BC，AD=DC，

在△ADB与△CDB中，

，

∴△ADB≌△CDB（SSS）

∴∠BCD=∠BAD，

∵∠BCD=∠ADF，

∴∠BAD=∠ADF，

∴AB∥FD，

∵BD⊥AC，AF⊥AC，

∴AF∥BD，

∴四边形ABDF是平行四边形

（2）解：∵四边形ABDF是平行四边形，AF=DF=5，

∴ABDF是菱形，

∴AB=BD=5，

∵AD=6，

设BE=x，则DE=5﹣x，

∴AB2﹣BE2=AD2﹣DE2，

即52﹣x2=62﹣（5﹣x）2

解得：x= ，

∴ = ，

∴AC=2AE=

【解析】（1）先证得△ADB≌△CDB求得∠BCD=∠BAD，从而得到∠ADF=∠BAD，所以AB∥FD，因为BD⊥AC，AF⊥AC，所以AF∥BD，即可证得．（2）先证得平行四边形是菱形，然后根据勾股定理即可求得．
【考点精析】掌握线段垂直平分线的性质和勾股定理的概念是解答本题的根本，需要知道垂直于一条线段并且平分这条线段的直线是这条线段的垂直平分线；线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等；直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方,即;a2+b2=c2．